Problema 1
En cada vértice de un polígono regular de $248$ lados hay una moneda. En cada paso, se eligen dos monedas y se desplazan exactamente un lugar, una moneda hacia la derecha y la otra hacia la izquierda. Determinar si repitiendo estos pasos se puede lograr que todas las monedas queden en
- $8$ pilas de $31$ monedas cada una;
- $31$ pilas de $8$ monedas cada una.
Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC$ menor que $AB$ tal que la circunferencia $\Gamma$ que pasa por $A$, $B$ y $C$ tiene radio $R$. Sea $D$ el punto de $BC$ tal que $AD$ es altura del triángulo. Consideramos el punto $T$ en la recta $AD$ tal que $AT=2R$, con $D$ ubicado entre $A$ y $T$. Finalmente, sea $S$ el punto medio del arco $\overparen{BC}$ de la circunferencia $\Gamma$ que no contiene a $A$. Demostrar que $A\widehat ST=90^\circ$.
Problema 3
En un tablero de $100\times100$ se colorean algunas casillas de rojo, azul o verde de modo que se satisfagan las siguientes tres condiciones:
- Cada casilla está coloreada de a lo más un color y puede haber casillas sin colorear.
- Para cada casilla coloreada $A$ hay exactamente otras tres casillas coloreadas o bien en la misma fila que $A$, o bien en la misma columna que $A$, tales que las tres tienen colores distintos del color de $A$. (En la fila puede haber además otras casillas del mismo color que $A$.)
- Hay por lo menos una casilla de cada color.
Determinar el número máximo de casillas del tablero que se pueden colorear.
Problema 4
Consideramos el conjunto $A=\left \{1,2,3,\ldots ,2^{2025}\right \}$ de los $2^{2025}$ números enteros desde $1$ hasta $2^{2025}$. Hay que elegir varios números de $A$, todos diferentes, de modo que para cada dos números elegidos, $a$ y $b$, ninguno de los números $a^k+b^k$, con $k$ entero positivo, sea divisible por $2^{2025}$. Determinar la mayor cantidad de números de $A$ que se pueden elegir.
Problema 5
En el pizarrón están escritos $10$ números reales positivos distintos. Emi calculó todas las $45$ posibles sumas de dos de estos números y resultó que cinco de estas sumas eran iguales entre sí. Facu calculó todas las posibles $45$ multiplicaciones de dos de estos números. Determinar la máxima cantidad de resultados iguales que pudo obtener Facu.
Problema 6
Fede y Male juegan al siguiente juego en un segmento fijo $I$, de longitud $1$. Cada ronda consta de dos etapas: primero una de las chicas elige un número $\ell$, con $0\leq \ell \leq 1$, a continuación, la otra elige un segmento $J$ de longitud $\ell$, contenido en $I$, y cambia el color de todos los puntos de $J$, los negros a blanco y los blancos a negro. En la ronda siguiente, ellas intercambian sus roles, y así sucesivamente. Al cabo de $1000$ rondas, se calcula la longitud total $L$ de los segmentos blancos que hay en ese momento en $I$. Si $L>\dfrac{1}{2}$ gana Fede y si $L\leq \dfrac{1}{2}$ gana Male. Inicialmente todo el segmento $I$ está pintado de blanco y Male es la que elige el primer número en la primera ronda del juego. ¿Cuál de los dos tiene estrategia ganadora? Describir la estrategia.