Problema 1
Dado un cuadrado $ABCD$, sea $P$ un punto en el segmento $BC$ y sea $G$ el punto de intersección de $AP$ con la diagonal $DB$. La recta perpendicular al segmento $AP$ por $G$ corta al lado $CD$ en el punto $E$. Sea $K$ el punto en el segmento $GE$ tal que $AK = PE$. Sea $Q$ el punto de intersección de la diagonal $AC$ y el segmento $KP$. Demostrar que los puntos $E, K, Q, C$ pertenecen a una misma circunferencia.
Problema 2
Decimos que una pareja de enteros positivos $(n, m)$ es
minuana si cumple las siguientes dos condiciones:
- $n$ tiene una cantidad par de divisores positivos.
- Si $d_1, d_2, \ldots, d_{2k}$ son todos los divisores positivos de $n$, con $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_{2k} = n$, entonces todos los divisores positivos de $m$ son$$1,\;d_1 + d_2,\;d_3 + d_4,\;d_5 + d_6,\;\ldots,\;d_{2k-1} + d_{2k}.$$
Encontrar todas las parejas minuanas.
Problema 3
En cada casilla de un tablero de $4\times11$ está escrito el número $1$. Un
movimiento consiste en elegir un entero positivo $k$ y una casilla, y multiplicar por $k$ a los números escritos en la casilla elegida y sus vecinas. ¿Es posible que, luego de una cantidad finita de movimientos, en cada casilla del tablero esté escrito el número $2025^{2026}$?
Nota: Dos casillas son
vecinas si comparten un lado.
Problema 4
Lucero y Pablo juegan en el tablero de la figura. Lucero juega primero y juegan alternadamente. En cada turno, el jugador elige uno de los círculos sin pintar de la fila inferior y lo pinta de azul, verde o rojo. Y así hasta completar la fila inferior en $4$ turnos.
Luego, se pinta el resto del tablero mediante las siguientes reglas:
- Si dos círculos adyacentes en una fila son del mismo color, el círculo superior adyacente a dichos círculos se pinta del mismo color.
- Si dos círculos adyacentes en una fila son de distinto color, el círculo superior adyacente a dichos círculos se pinta del tercer color.
Se realiza este procedimiento hasta que todos los círculos del tablero estén pintados. Lucero gana si el círculo superior se pinta de rojo o verde, y Pablo gana si se pinta de azul.
Determinar quién tiene estrategia ganadora.
Problema 5
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, con $AB>BC$, que cumple:$$\angle ABD=60^\circ ,\qquad \angle CBD=60^\circ ,\qquad \angle ACD=30^\circ .$$Probar que $\angle BAC=\angle DAC$.
Problema 6
Sean $n\geq 2$ y $N=2^n$. Sea $A_1,A_2,\ldots ,A_N$ una permutación (ordenación) de todos los subconjuntos de $X=\{1,2,\ldots ,n\}$. Determinar el valor máximo posible de$$S=\sum \limits _{i=1}^N|A_i\cap A_{i+1}|\cdot |A_i\cup A_{i+1}|,$$donde $A_{N+1}=A_1$.
Nota: $|B|$ denota la cantidad de elementos del conjunto $B$.
