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Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos. Se definen tres sucesiones tales que:

  • $a_1=a$, $b_1=b$, $c_1=c$
  • $a_{n+1}=\left \lfloor \sqrt{a_nb_n}\right \rfloor$, $b_{n+1}=\left \lfloor \sqrt{b_nc_n} \right \rfloor$, $c_{n+1}=\left \lfloor \sqrt{c_na_n} \right \rfloor$ para todo $n\geq 1$


a. Demostrar que para cualquier $a$, $b$, $c$, existe un entero positivo $N$ tal que $a_N=b_N=c_N$.
b. Hallar el menor entero positivo $N$ tal que $a_N=b_N=c_N$ para alguna elección de $a$, $b$, $c$ tal que $a\geq 2$ y $b+c=2a-1$

Nota: Denotamos $\lfloor x\rfloor$ a la parte entera del número real $x$, por ejemplo $\lfloor 2,8\rfloor =2$, $\lfloor \pi \rfloor =3$, $\lfloor 5\rfloor =5$.

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