OMA Foros

Ya arrancó el FOFO de Pascua para suavizar la cuarentena!
Problemas del FOFO de Pascua
Más info sobre el FOFO aquí.

Problemas de LA CUARENTENA
Más info sobre "La Cuarentena" aquí.

Problema del día de OMA:
Sea $p>3$ un primo. Demostrar que si $$\sum \limits_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i^p}=\frac{n}{m}$$ con $n$ y $m$ enteros positivos coprimos, entonces $p^3$ divide a $n$.
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Problema del día de Geometría:
Sea $ABCD$ un cuadrado y sea $P$ un punto en su interior. Se sabe que el área del triángulo $PAB$ es $10$, el área del triángulo $PBC$ es $30$, y el área del triángulo $PCD$ es $40$.
Hallar el valor del área del triángulo $PDA$.
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Problema del día de Ñandú:
En el tablero están escritos el $3$ y el $11$:$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\quad & 3 & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & 11 & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$Completa el tablero de modo que al sumar los números de cuatro casilleros consecutivos el resultado sea siempre $49$ y, además, la suma de los trece números del tablero sea igual a $166$.
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