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Residuos cuadráticos


Alguien me dice como se puede resolver esto?

Hallar todos los números naturales $n$ tales que $\left \lfloor{ \frac{n^2}{5}} \right \rfloor$ es un número primo.

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casillas


Dados $32$ enteros positivos con suma $120,$ ninguno de ellos mayor que $60.$ Probar que podemos dividir el conjunto en dos subconjuntos disjuntos con la misma suma de elementos.

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Producto de números


Demuestre que el producto de todos los $2^{100}$ números de la forma:

$$\pm1\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}\pm\sqrt{4}\pm\cdots\pm\sqrt{100}$$

es el cuadrado de un entero.

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Comisiones


En un congreso existen $30$ congresistas. Cada congresista tiene exactamente $6$ enemigos.
Cualesquier tres de ellos forman una comisión. Halle el número de comisiones en la que los miembros
son todos amigos o todos enemigos[/ [

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Cuadrados


Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $a^2-bc$ es un cuadrado perfecto. Demuestre que $2a+b+c$ es un número compuesto.

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