OMA Foros

OMA Foros Open 2021

Vuelve el clásico del verano de OMA Foros, en su séptima edición!

¿Qué es el OFO?
El OFO (OMA Foros Open) consistirá en una competencia online ABIERTA para todos los usuarios de OMA Foros que deseen participar.

¿Cuándo se llevará a cabo?
El Certamen se llevará a cabo a partir de las 00:00 hs del día Viernes 29 de Enero de 2021, y concluirá a las 23:59 del día Domingo 7 de Febrero de 2021.

¿Cómo me inscribo?
La inscripción está abierta HASTA las 23:59 del día Jueves 28 de Enero de 2021. Para inscribirse, el usuario interesado deberá comentar en este thread "me inscribo" o algo similar.

¿Cómo es la competencia?
Algunos integrantes del equipo de OMAForos vamos a proponer varios problemas, de dificultades y temas variados. Estos problemas se van a publicar aquí en el foro en un post CERRADO (nadie va a poder responder en el propio post). La solución a cada problema la deberán enviar por mensaje privado a quien figure como autor del post (que además será el encargado de corregir dicha solución) hasta las 23:59 del Domingo 7 de Febrero de 2021. Recomendamos fuertemente enviar soluciones escritas en $\LaTeX$. Pueden leer aquí como utilizarlo.

¿Cómo es el sistema de corrección?
Los puntajes consisten en un número entero entre 0 y 7.

¿Cómo me entero de cómo me fue?
Una vez concluido el período de envío de soluciones se publicará una lista de "premiados" en diversas categorías, junto con una tabla con los primeros puestos del certamen. (Pueden ver la lista de los ganadores del año pasado aquí.)
A cada participante se le hará saber en privado cuál fue el puntaje que obtuvo en cada problema.

¿Pueden participar ex-olímpicos?
Sí, pueden.

¿Se puede participar en equipo?
No. La idea es que los problemas se resuelvan individualmente, de manera que el ambiente en que se trabaje sea similar al de la OMA.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
No, aplican las mismas restricciones que en una prueba presencial. La idea de esta competencia es que les sirva como entrenamiento para las demás pruebas. Como no podemos verificar esto, es responsabilidad de ustedes cumplirlo. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis hechas utilizando algún software, como Geogebra.

Sobre una mesa hay varias cartas, algunas boca arriba y otras boca abajo. La operación permitida es elegir $4$ cartas y darlas vuelta. El objetivo es obtener todas las cartas en el mismo estado (todas boca arriba o todas boca abajo). Determinar si es posible lograr el objetivo mediante una secuencia de operaciones permitidas si inicialmente hay:

a) $101$ cartas boca arriba y $102$ boca abajo;

b) $101$ cartas boca arriba y $101$ boca abajo.

María tiene un tablero de $6×5$ con algunas casillas sombreadas, como en la figura. Ella escribe, en algún orden, los dígitos $1$, $2$, $3$, $4$ y $5$ en la primera fila y luego completa el tablero de la siguiente manera: mira el número escrito en la casilla sombreada y escribe el número que ocupa la posición indicada por la casilla sombreada como último número de la fila siguiente, y repite los demás números en las primeras cuatro
casillas, siguiendo el mismo orden que tenían en la fila anterior.
Por ejemplo, si escribió $2$ $3$ $4$ $1$ $5$ en la primera fila, entonces como en la casilla sombreada está el $4$, el número que ocupa el cuarto lugar (el $1$) lo escribe en la última casilla de la segunda fila y la completa con los restantes números en el orden en que
estaban. Queda: $2$ $3$ $4$ $5$ $1$.
Luego, para completar la tercera fila, como en la casilla sombreada está el $3$, el número ubicado en el tercer lugar (el $4$) lo escribe en la última casilla y obtiene $2$ $3$ $5$ $1$ $4$. Siguiendo de la misma manera obtiene el tablero de la figura.
Mostrar una manera de ubicar los números en la primera fila para obtener en la última fila los números $2$ $4$ $5$ $1$ $3$.

Mayo2020P4N1.png

Decimos que un entero positivo n es circular si es posible colocar los números $1, 2, …, n$ alrededor de

una circunferencia de tal manera que no haya tres números adyacentes cuya suma sea múltiplo de $3$.

a) Demostrar que $9$ no es circular.

b) Demostrar que todo entero mayor que $9$ es circular.

Sean $ABC$ un triángulo rectángulo, recto en $B$, y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto en la

bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $PM$ es perpendicular a $BC$ ($P$ está fuera del triángulo $ABC$).

Determinar el área del triángulo $ABC$ si $PM=1$ y $MC=5$.

Una hormiga despistada hace el siguiente recorrido: comenzando en el punto $A$ va $1\text{ cm}$ al norte, después $2\text{ cm}$ al este, a continuación $3\text{ cm}$ al sur, luego $4\text{ cm}$ al oeste, de inmediato $5\text{ cm}$ al norte, continúa $6\text{ cm}$ al este, y así sucesivamente, finalmente $41\text{ cm}$ al norte y termina en el punto $B$. Calcular la distancia entre $A$ y $B$ (en línea recta).

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