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Resultados COFFEE: "Ariel Zylber"

Finalmente ha llegado el momento tan esperado de entregar los premios de esta edición de la COFFEE.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están siendo publicadas las soluciones oficiales de todos los problemas de la COFFEE, en sus respectivos posts. Si tenés ganas de compartir lo que hiciste, o tenés dudas/preguntas, te invitamos a que publiques en el th [

Sea $n$ un entero positivo y $a$ un número real. Hallar todas las $n$-uplas $\left (x_1,\ldots ,x_n\right )$ de números reales que satisfacen el sitema de ecuaciones$$\sum \limits _{i=1}^{n} x_{i}^{k}=a^{k}$$para $k=1,\ldots ,n$.

Sea $M$ el conjunto de los puntos de coordenadas enteras del plano.
Para cada punto $P=\left ( x,y \right )\in M$ llamamos vecinos de $P$ a los puntos $\left ( x-1,y \right ),\left ( x+1,y \right ),\left ( x,y-1 \right ),\left ( x,y+1 \right )$.
Sea $S [

Un paralelogramo está inscrito en un hexágono regular de modo tal que los centros de simetría de ambas figuras coinciden.

Demostrar que el área del paralelogramo es menor o igual que $\frac{2}{3}$ del área del hexágono.

Probar que para cualquier entero $n\geq 2$, la máxima potencia de $3$ que divide a $n!$ es la misma que la máxima potencia de $3$ que divide a$$(1)(1+4)\ldots \left (1+4+\ldots +4^{n-1}\right )$$

Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)=n+\lfloor \sqrt n \rfloor$. Demostrar que para todo entero positivo $m$, la sucesión $m, f(m), f(f(m)), f(f(f(m))), \cdots$ contiene un cuadrado perfecto.

Nota: Para cualquier número real $x$, $\lfloor x [

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Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 8)

Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 7)

Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 6)

Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 5)

OMEO 2018 N3 P3