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Ver último mensaje sin leer Encuesta: : Concluyó la OFO 2021


CONCLUYÓ LA OFO 2021
Ya se encuentran abiertos los threads de los problemas. Próximamente vamos a publicar las soluciones oficiales allí. Mientras tanto, pueden aprovechar para contar qué hicieron en cada problema, o a qué resultados llegaron.

Ya está disponible la encuesta para votar sus problemas preferidos

En el transcurso de estos días vamos a mandar por mensaje privado las devoluciones de cada una de sus soluciones, con el correspondiente puntaje.
Además, vamos a estar pidiéndoles algunos datos, en particular su edad y nacionalidad, para poder otorgar los premios especiales como todos los años. Estén atentos.

Los resultados finales de la OFO van a estar pronto. Consultas al respecto háganlas aquí.

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Desigualdad con mínimos


Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, \dots, a_n$ y $b_1, b_2, \dots, b_n$ reales no negativos. Demostrar que

$$\sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ia_j,\, b_ib_j\}}\leq \sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ib_j,\, a_jb_i\}}$$

donde $\min\,\{x,\, y\}$ denota al menor número entre $x$ e $y$.

Nota: La sumatoria tiene $n^2$ sumandos, uno por cada par $(i,j)$ con $i, j$ enteros entre $1$ y $n$ incluidos.

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Dos polígonos regulares intersecados, probar que la mitad de las diagonales concurren.


Los lados de un $200$-ágono convexo $A_1A_2A_3\dots A_{200}$ se colorean alternadamente de rojo y azul. Supongamos que las extensiones de los lados azules definen un $100$-ágono regular, y las de los rojos también.

Probar que las cincuenta diagonales $A_1A_{101}, A_3A_{103}, A_5A_{105},…, A_{99}A_{199}$ son concurrentes.

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Ordenar los naturales tal que suma de consecutivos sea cuadrado


Determinar si existe una permutación de los enteros positivos tal que la suma de cualesquiera dos elementos consecutivos sea un cuadrado perfecto.

Nota: Una permutación de los enteros positivos es cualquier sucesión infnita $a_1,a_2,a_3,...$ tal que para todo $k$ entero positivo existe un único $i$ entero positivo tal que $a_i=k$.

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Rey de ajedrez se mueve por casillas verdes


Sea $n$ un entero positivo impar, y supongamos que en un tablero de $n\times n$ hay un rey de ajedrez que se desplaza como indican las reglas. Algunas casillas se pintan de verde. Supongamos que se puede ir de cualquier casilla verde a cualquier otra pasando solo por casillas verdes. Demostrar que esto puede hacerse a lo sumo $\frac{n^2-1}{2}$ pasos.

Nota: Cada paso es el movimiento de una casilla a otra, así que en un recorrido con $k$ pasos se atraviesan $k+1$ casillas (contadas con repeticiones).

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Sucesión contiene a todos los múltiplos de 3 exactamente una vez


Consideremos una sucesión infinita de enteros positivos $a_1, a_2, a_3,\dots$ que satisfaga las siguientes dos condiciones:
  • $a_n\leq 3n$, para todo entero positivo $n$.
  • $v_2\,(a_m+a_n)=v_2\,(m+n)$ para cualesquiera $m$ y $n$ enteros positivos.
Probar que todo múltiplo de $3$ aparece exactamente una vez en la sucesión.

Nota: $v_2\,(x)$ denota al exponente de la mayor potencia de $2$ que divide a $x$.

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