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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Si $a,b,c\in [-1,1]$ son tales que $a+b+c+abc=0$, demostrar que$$a^2+b^2+c^2\geq 3(a+b+c)$$¿Cuándo vale la igualdad?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $ABC$ un triángulo con $AB=13$, $BC=15$ y $AC=9$. Sea $r$ la recta paralela a $BC$ trazada por $A$. La bisectriz del ángulo $\angle ABC$ corta a $r$ en $E$ y la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ corta a $r$ en $F$. Calcular la medida del segmento $EF$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En el pueblo “Todos conectados”, el mes pasado, del total de las casas, el $50\%$ estaban conectadas a TV por cable y a Internet, el $30\%$ sólo estaban conectadas a TV por cable y el $20\%$ sólo estaban conectadas a Internet.
Este mes, la sexta parte de las casas conectadas sólo a TV por cable se abonaron además a Internet; la cuarta parte de las casas conectadas sólo a Internet se abonaron además a TV por cable; las restantes no hicieron ningún cambio.
El abono mensual para ambos servicios es de $\$210$; sólo para TV de $\$140$ y sólo para Internet de $\$100$.
Si todas las casas pagaran su abono, este mes se recaudarían $\$151360$.
¿Cuántas casas están conectadas sólo a Internet este mes?
Link al tema.


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OMAlbum - Problema #A033


En el pizarrón están escritos dos números de $15$ dígitos: $$a = 344344334443343 \quad \text{y} \quad b= 344433334343433. $$ Usando exclusivamente los dígitos $3$ y $4$, Ariel tiene que escribir otro número de $15$ dígitos que coincida en por lo menos $12$ posiciones con $a$ y también coincida en por lo menos $12$ posiciones con $b$.

¿De cuántas maneras distintas puede Ariel cumplir su tarea?

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Problema Geometría Eucludiana


Hola, quería ver si alguien es capaz de resolver por completo este problema, ya que yo no he podido y lo necesito para seguir aprendiendo, muchas gracias

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OMAlbum - Problema #A032


Consideramos todos los números de $5$ cifras que se pueden escribir usando los dígitos $1, 2, 3, 4, 5$ (sin repetir). ¿Cuánto vale la suma de todos estos números?

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Ibero 2020 - P6


Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno. Sean $H$ el otrocentro y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto interior del segmento $HO$. La circunferencia de centro $P$ y radio $PA$ intersecta nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Denotamos por $Q$ el punto simétrico al punto $P$ con respecto a la mediatriz de $BC$. Demuestre que los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ pertenecen a una misma circunferencia.

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Ibero 2020 - P5


Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f(xf(x-y))+yf(x)=x+y+f\left (x^2\right )$$para cualesquiera números reales $x,y$.

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