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¡Concluyó la FOFO 9+1 años!

Hoy abriremos los threads de los problemas. Próximamente vamos a publicar las soluciones oficiales allí. Mientras tanto, pueden aprovechar para contar qué hicieron en cada problema, o a qué resultados llegaron.
En el transcurso de estos días vamos a mandar por Mensaje Privado las devoluciones de cada una de sus soluciones, con el correspondiente puntaje.
Los resultados finales de la FOFO 9+1 años van a estar pronto. Consultas al respecto háganlas aquí.
Ya está disponible la encuesta para votar sus problemas preferidos

Sobre una mesa hay varias cartas, algunas boca arriba y otras boca abajo. La operación permitida es elegir $4$ cartas y darlas vuelta. El objetivo es obtener todas las cartas en el mismo estado (todas boca arriba o todas boca abajo). Determinar si es posible lograr el objetivo mediante una secuencia de operaciones permitidas si inicialmente hay:

a) $101$ cartas boca arriba y $102$ boca abajo;

b) $101$ cartas boca arriba y $101$ boca abajo.

María tiene un tablero de $6×5$ con algunas casillas sombreadas, como en la figura. Ella escribe, en algún orden, los dígitos $1$, $2$, $3$, $4$ y $5$ en la primera fila y luego completa el tablero de la siguiente manera: mira el número escrito en la casilla sombreada y escribe el número que ocupa la posición indicada por la casilla sombreada como último número de la fila siguiente, y repite los demás números en las primeras cuatro
casillas, siguiendo el mismo orden que tenían en la fila anterior.
Por ejemplo, si escribió $2$ $3$ $4$ $1$ $5$ en la primera fila, entonces como en la casilla sombreada está el $4$, el número que ocupa el cuarto lugar (el $1$) lo escribe en la última casilla de la segunda fila y la completa con los restantes números en el orden en que
estaban. Queda: $2$ $3$ $4$ $5$ $1$.
Luego, para completar la tercera fila, como en la casilla sombreada está el $3$, el número ubicado en el tercer lugar (el $4$) lo escribe en la última casilla y obtiene $2$ $3$ $5$ $1$ $4$. Siguiendo de la misma manera obtiene el tablero de la figura.
Mostrar una manera de ubicar los números en la primera fila para obtener en la última fila los números $2$ $4$ $5$ $1$ $3$.

Mayo2020P4N1.png

Decimos que un entero positivo n es circular si es posible colocar los números $1, 2, …, n$ alrededor de

una circunferencia de tal manera que no haya tres números adyacentes cuya suma sea múltiplo de $3$.

a) Demostrar que $9$ no es circular.

b) Demostrar que todo entero mayor que $9$ es circular.

Sean $ABC$ un triángulo rectángulo, recto en $B$, y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto en la

bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $PM$ es perpendicular a $BC$ ($P$ está fuera del triángulo $ABC$).

Determinar el área del triángulo $ABC$ si $PM=1$ y $MC=5$.

Una hormiga despistada hace el siguiente recorrido: comenzando en el punto $A$ va $1\text{ cm}$ al norte, después $2\text{ cm}$ al este, a continuación $3\text{ cm}$ al sur, luego $4\text{ cm}$ al oeste, de inmediato $5\text{ cm}$ al norte, continúa $6\text{ cm}$ al este, y así sucesivamente, finalmente $41\text{ cm}$ al norte y termina en el punto $B$. Calcular la distancia entre $A$ y $B$ (en línea recta).

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Problema 5 Nivel 1 Mayo 2020

Problema 4 Nivel 1 Mayo 2020

Problema 5 Nivel 2 Mayo 2020

Problema 4 Nivel 2 Mayo 2020

Problema 3 Nivel 1 Mayo 2020