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Ver último mensaje sin leer Encuesta: : ¡Concluyó la FOFO 9+1 años!


¡Concluyó la FOFO 9+1 años!

Hoy abriremos los threads de los problemas. Próximamente vamos a publicar las soluciones oficiales allí. Mientras tanto, pueden aprovechar para contar qué hicieron en cada problema, o a qué resultados llegaron.
En el transcurso de estos días vamos a mandar por Mensaje Privado las devoluciones de cada una de sus soluciones, con el correspondiente puntaje.
Los resultados finales de la FOFO 9+1 años van a estar pronto. Consultas al respecto háganlas aquí.
Ya está disponible la encuesta para votar sus problemas preferidos

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8 y 15 + 29 + 1056$ termina en $0$.

Si Betty quiere que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sobre una mesa cuadrada se ha colocado un mantel cuadrado (pueden ser de diferente tamaño) sin dobleces ni arrugas. Las cuatro esquinas de la mesa están descubiertas y las cuatro partes del mantel que cuelgan son triangulares. Sabiendo que dos de las partes colgantes son iguales, demostrar que las otras dos partes también son iguales. 6 puntos
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Hay $4$ colores: azul, blanco, rojo y verde para pintar cada casilla de la figura de un color.
n3 nac 2012 p3.jpg
Se pueden usar todos o algunos de los $4$ colores, pero se debe cumplir la condición de que las casillas que tienen un lado común sean de distinto color.
¿De cuántas maneras se puede hacer?
Explica cuáles son.
Link al tema.


  • Últimos temas

Problema 5 Nivel 1 Mayo 2020


Sobre una mesa hay varias cartas, algunas boca arriba y otras boca abajo. La operación permitida es elegir $4$ cartas y darlas vuelta. El objetivo es obtener todas las cartas en el mismo estado (todas boca arriba o todas boca abajo). Determinar si es posible lograr el objetivo mediante una secuencia de operaciones permitidas si inicialmente hay:

a) $101$ cartas boca arriba y $102$ boca abajo;

b) $101$ cartas boca arriba y $101$ boca abajo.

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Problema 4 Nivel 1 Mayo 2020


María tiene un tablero de $6×5$ con algunas casillas sombreadas, como en la figura. Ella escribe, en algún orden, los dígitos $1$, $2$, $3$, $4$ y $5$ en la primera fila y luego completa el tablero de la siguiente manera: mira el número escrito en la casilla sombreada y escribe el número que ocupa la posición indicada por la casilla sombreada como último número de la fila siguiente, y repite los demás números en las primeras cuatro
casillas, siguiendo el mismo orden que tenían en la fila anterior.
Por ejemplo, si escribió $2$ $3$ $4$ $1$ $5$ en la primera fila, entonces como en la casilla sombreada está el $4$, el número que ocupa el cuarto lugar (el $1$) lo escribe en la última casilla de la segunda fila y la completa con los restantes números en el orden en que
estaban. Queda: $2$ $3$ $4$ $5$ $1$.
Luego, para completar la tercera fila, como en la casilla sombreada está el $3$, el número ubicado en el tercer lugar (el $4$) lo escribe en la última casilla y obtiene $2$ $3$ $5$ $1$ $4$. Siguiendo de la misma manera obtiene el tablero de la figura.
Mostrar una manera de ubicar los números en la primera fila para obtener en la última fila los números $2$ $4$ $5$ $1$ $3$.
Mayo2020P4N1.png

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Problema 5 Nivel 2 Mayo 2020


Decimos que un entero positivo n es circular si es posible colocar los números $1, 2, …, n$ alrededor de

una circunferencia de tal manera que no haya tres números adyacentes cuya suma sea múltiplo de $3$.

a) Demostrar que $9$ no es circular.

b) Demostrar que todo entero mayor que $9$ es circular.

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Problema 4 Nivel 2 Mayo 2020


Sean $ABC$ un triángulo rectángulo, recto en $B$, y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto en la

bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $PM$ es perpendicular a $BC$ ($P$ está fuera del triángulo $ABC$).

Determinar el área del triángulo $ABC$ si $PM=1$ y $MC=5$.

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Problema 3 Nivel 1 Mayo 2020


Una hormiga despistada hace el siguiente recorrido: comenzando en el punto $A$ va $1\text{ cm}$ al norte, después $2\text{ cm}$ al este, a continuación $3\text{ cm}$ al sur, luego $4\text{ cm}$ al oeste, de inmediato $5\text{ cm}$ al norte, continúa $6\text{ cm}$ al este, y así sucesivamente, finalmente $41\text{ cm}$ al norte y termina en el punto $B$. Calcular la distancia entre $A$ y $B$ (en línea recta).

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