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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Ana, Bruno, Celia y Dirce están en un parque y deciden jugar con una pelota. Cada niño que recibe la pelota debe pasársela a otro niño. ¿De cuántas maneras diferentes puede ser Ana la primera en lanzar la pelota y tenerla de regreso después de:
a) $3$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a para Dirce, quien se la pasa a Ana.
b) $4$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a Ana, quien se la pasa a Celia, quien se la devuelve a Ana.
c) $10$ movimientos?
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Problema del día de Geometría:
Sea $\gamma _A$, $\gamma _B$ y $\gamma _C$ los excírculos del triángulo $ABC$, tangentes a los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, $\ell _A$ denota la tangente común exterior a $\gamma _B$ y $\gamma _C$, distinta de $BC$, de igual forma definimos $\ell _B$ y $\ell _C$. La tangente desde el punto $P$ de $\ell _A$ a $\gamma _B$, distinta de $\ell_A$, corta a $\ell _C$ en el punto $X$, de la misma forma, la tangente desde $P$ a $\gamma _C$ corta a $\ell _B$ en $Y$, probar que $XY$ es tangente a $\gamma _A$.
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Problema del día de Ñandú:
En cada casilla de un tablero de $3\times 4$ hay que escribir un número de manera que se cumplan las siguientes condiciones:$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
\end{array}$$
  • Cada número es el triple de su vecino de arriba.
  • Cada número es la mitad de su vecino de la izquierda.
  • La suma de los $12$ números escritos en el tablero es igual a $2730$.
Muestra cómo hacerlo.
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IMO 2021 - Problema 6


Sean $m\geq 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos), y $B_1,B_2,B_3,\ldots ,B_m$ subconjuntos de $A$. Suponemos que para cada $k=1,2,\ldots ,m$, la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$. Probar que $A$ contiene al menos $m/2$ elementos.

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IMO 2021 - Problema 5


Dos ardillas, Ardi y Dilla, han recolectado $2021$ nueces para el invierno. Ardi numera las nueces desde $1$ hasta $2021$, y excava $2021$ hoyos en el suelo en una disposición circular alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Ardi observa que Dilla ha colocado una nuez en cada hoyo, pero sin tener en cuenta la numeración. No contenta con esto, Ardi decide reordenar las nueces realizando una secuencia de $2021$ movimientos. En el $k$-ésimo movimiento Ardi intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez con el número $k$. Probar que existe un valor de $k$ tal que, en el $k$-ésimo movimiento, las nueces intercambiadas tienen números $a$ y $b$ tales que $a<k<b$.

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IMO 2021 - Problema 4


Sea $\Gamma$ una circunferencia con centro $I$ y $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ es tangente a $\Gamma$. Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AIC$. La prolongación de $BA$ más allá de $A$ corta a $\Omega$ en $X$, y la prolongación de $BC$ más allá de $C$ corta a $\Omega$ en $Z$. Las prolongaciones de $AD$ y $CD$ más allá de $D$ cortan a $\Omega$ en $Y$ y $T$ respectivamente. Probar que$$AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.$$

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IMO 2021 - Problema 3


Sea $D$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$, con $AB>AC$, de forma que $\angle DAB=\angle CAD$. El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface que $\angle ADE=\angle BCD$, el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA=\angle DBC$, y el punto $X$ en la recta $AC$ satisface $CX=BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD$ respectivamente. Probar que las rectas $BC$, $EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

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IMO 2021 - Problema 2


Probar que la desigualdad$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\leq \sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}$$se satisface para cualquier elección de números reales $x_1,\ldots, x_n$.

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