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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Un cuadrado de $2n \times 2n$ se cubre, sin salirse del cuadrado, sin huecos ni superposiciones, con rectángulos de $1 \times 2$ y piezas como las de la figura (que cubren exactamente $4$ cuadrados de $1 \times 1$). Las figuras se pueden girar o dar vueltas. Demuestre que en el recubrimiento hay al menos $n+1$ rectángulos de $1 \times 2$.
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Problema del día de Geometría:
Asignamos a cada lado [math] de un polígono convexo [math] el área máxima que puede tener un triángulo que tiene a [math] como uno de sus lados y que está contenido en [math].
Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de [math] es mayor o igual que el doble del área de [math].
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Problema del día de Ñandú:
Para un recital, Carla, Daniela, Edu, Fer y Gaby tienen $5$ asientos consecutivos, en primera fila. Si Carla se sienta al lado de Daniela y Gaby se sienta en una de las puntas ¿de cuántas maneras distintas pueden sentarse?
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Problema 5 Nivel 1 Mayo 2020


Sobre una mesa hay varias cartas, algunas boca arriba y otras boca abajo. La operación permitida es elegir $4$ cartas y darlas vuelta. El objetivo es obtener todas las cartas en el mismo estado (todas boca arriba o todas boca abajo). Determinar si es posible lograr el objetivo mediante una secuencia de operaciones permitidas si inicialmente hay:

a) $101$ cartas boca arriba y $102$ boca abajo;

b) $101$ cartas boca arriba y $101$ boca abajo.

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Problema 4 Nivel 1 Mayo 2020


María tiene un tablero de $6×5$ con algunas casillas sombreadas, como en la figura. Ella escribe, en algún orden, los dígitos $1$, $2$, $3$, $4$ y $5$ en la primera fila y luego completa el tablero de la siguiente manera: mira el número escrito en la casilla sombreada y escribe el número que ocupa la posición indicada por la casilla sombreada como último número de la fila siguiente, y repite los demás números en las primeras cuatro
casillas, siguiendo el mismo orden que tenían en la fila anterior.
Por ejemplo, si escribió $2$ $3$ $4$ $1$ $5$ en la primera fila, entonces como en la casilla sombreada está el $4$, el número que ocupa el cuarto lugar (el $1$) lo escribe en la última casilla de la segunda fila y la completa con los restantes números en el orden en que
estaban. Queda: $2$ $3$ $4$ $5$ $1$.
Luego, para completar la tercera fila, como en la casilla sombreada está el $3$, el número ubicado en el tercer lugar (el $4$) lo escribe en la última casilla y obtiene $2$ $3$ $5$ $1$ $4$. Siguiendo de la misma manera obtiene el tablero de la figura.
Mostrar una manera de ubicar los números en la primera fila para obtener en la última fila los números $2$ $4$ $5$ $1$ $3$.
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Problema 5 Nivel 2 Mayo 2020


Decimos que un entero positivo n es circular si es posible colocar los números $1, 2, …, n$ alrededor de

una circunferencia de tal manera que no haya tres números adyacentes cuya suma sea múltiplo de $3$.

a) Demostrar que $9$ no es circular.

b) Demostrar que todo entero mayor que $9$ es circular.

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Problema 4 Nivel 2 Mayo 2020


Sean $ABC$ un triángulo rectángulo, recto en $B$, y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto en la

bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $PM$ es perpendicular a $BC$ ($P$ está fuera del triángulo $ABC$).

Determinar el área del triángulo $ABC$ si $PM=1$ y $MC=5$.

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Problema 3 Nivel 1 Mayo 2020


Una hormiga despistada hace el siguiente recorrido: comenzando en el punto $A$ va $1\text{ cm}$ al norte, después $2\text{ cm}$ al este, a continuación $3\text{ cm}$ al sur, luego $4\text{ cm}$ al oeste, de inmediato $5\text{ cm}$ al norte, continúa $6\text{ cm}$ al este, y así sucesivamente, finalmente $41\text{ cm}$ al norte y termina en el punto $B$. Calcular la distancia entre $A$ y $B$ (en línea recta).

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