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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Ana, Bruno, Celia y Dirce están en un parque y deciden jugar con una pelota. Cada niño que recibe la pelota debe pasársela a otro niño. ¿De cuántas maneras diferentes puede ser Ana la primera en lanzar la pelota y tenerla de regreso después de:
a) $3$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a para Dirce, quien se la pasa a Ana.
b) $4$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a Ana, quien se la pasa a Celia, quien se la devuelve a Ana.
c) $10$ movimientos?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $\gamma _A$, $\gamma _B$ y $\gamma _C$ los excírculos del triángulo $ABC$, tangentes a los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, $\ell _A$ denota la tangente común exterior a $\gamma _B$ y $\gamma _C$, distinta de $BC$, de igual forma definimos $\ell _B$ y $\ell _C$. La tangente desde el punto $P$ de $\ell _A$ a $\gamma _B$, distinta de $\ell_A$, corta a $\ell _C$ en el punto $X$, de la misma forma, la tangente desde $P$ a $\gamma _C$ corta a $\ell _B$ en $Y$, probar que $XY$ es tangente a $\gamma _A$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En cada casilla de un tablero de $3\times 4$ hay que escribir un número de manera que se cumplan las siguientes condiciones:$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
\end{array}$$
  • Cada número es el triple de su vecino de arriba.
  • Cada número es la mitad de su vecino de la izquierda.
  • La suma de los $12$ números escritos en el tablero es igual a $2730$.
Muestra cómo hacerlo.
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  • Últimos temas

Primer Pretorneo 2015 - NM P1


Se tienen $15$ números enteros distintos, no necesariamente positivos. Alex escribió todas las posibles sumas de $7$ de estos números; Beto escribió todas las posibles sumas de $8$ de estos números. Determinar si es posible que las listas de Alex y Beto sean iguales. (Si la respuesta es sí, dar los posibles $15$ números; si es no, explicar porqué.)



4 puntos

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Tangencias y colinealidad


Sean $P $ y $Q $ dos puntos exteriores a la circunferencia $\Gamma $ y se trazan las tangentes $PA, PB, QC, QD $, y los puntos $R = AD \cap BC $ y $S = AC \cap BD $.



Probar que los puntos $P, R, Q, S$ son colineales.

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Línea tripolar en la recta OI


Dado el triángulo $ABC $ el $A $-excírculo toca a las rectas $AC, AB, BC $ en $B_b, B_c, B_a $ y defino los respectivos puntos para las otras dos circunferencias. Sea $D = B_bB_c \cap B_cB_b $ y similar mente los puntos $E $ y $F $.
Probar que los puntos $D, E, F$ son colineales en una recta $d $ y que el punto tripolar de $d $ respecto al triángulo $A_aB_bC_c $ pertenece a la recta $OI $ donde $I $ es el incentro de $ABC $ y $O $ su circuncentro.

Dejo acá la explicación de lo que es el polo trilineal y la tripolar ya que no vi nada sobre el tema en el foro

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Polar y polo trilineal


Dado un triángulo $ABC$ y un punto interior $X$ se tiene el triángulo ceviano $DEF$ con $D\in BC$, $E\in AC$ y $F\in AB$.

Entonces los puntos $P=EF\cap BC$, $Q=FD\cap CA$ y $R=DE \cap AB$ son colineales en una recta $d$.

Al punto $X$ se le llama polo trilineal de $d$ y a la recta $d$ se le llama tripolar de $X$.

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Algo interesante con el incentro-excentro


Dado un triángulo $ABC $ inscrito en una circunferencia $\Gamma $ sean $I $ su incentro y $E $ el excentro opuesto al punto $A $.

El punto medio del segmento $EI $ es el punto medio del arco $\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{BC}}$ que no contiene al punto $A $

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