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  • El FOFO y La Cuarentena
III FOFO de Pascua!

Ya arrancó el FOFO de Pascua para suavizar la cuarentena!
Problemas del FOFO de Pascua
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LA CUARENTENA

¡Ya empezó la CUARENTENA! Una competencia para exolímpicos organizada por olímpicos.
Problemas de LA CUARENTENA
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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Sea $p>3$ un primo. Demostrar que si $$\sum \limits_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i^p}=\frac{n}{m}$$ con $n$ y $m$ enteros positivos coprimos, entonces $p^3$ divide a $n$.
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Problema del día de Geometría:
Sea $ABCD$ un cuadrado y sea $P$ un punto en su interior. Se sabe que el área del triángulo $PAB$ es $10$, el área del triángulo $PBC$ es $30$, y el área del triángulo $PCD$ es $40$.
Hallar el valor del área del triángulo $PDA$.
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Problema del día de Ñandú:
En el tablero están escritos el $3$ y el $11$:$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\quad & 3 & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & 11 & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$Completa el tablero de modo que al sumar los números de cuatro casilleros consecutivos el resultado sea siempre $49$ y, además, la suma de los trece números del tablero sea igual a $166$.
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Adjunto(s) LA CUARENTENA


¡Ya empezó la CUARENTENA!


ACLARACIÓN: Todo lo que sigue no está de ninguna forma vinculado al Foro ni al equipo del mismo, sino que está realizando independientement [

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CUARENTENA Problema 1


Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos tales que $\sqrt[3]{a}$, $\sqrt[3]{b}$ y $\sqrt[3]{c}$ son términos de una progresión aritmética. Probar que $abc$ es un cubo perfecto.

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CUARENTENA Problema 2


Sea $n$ un entero positivo. En cada una de $k$ casillas de un tablero $n\times n$ hay una persona infectada. Cada día, se contagian simultáneamente todas las personas que tienen al menos dos vecinos infectados. Hallar la menor valor posible de $k$ pa [

Vistas: 29  •  Comentarios: 0  •  Escribir comentario [ Leer todo ]

CUARENTENA Problema 3


Hallar todas las cuaternas de enteros positivos $(w,x,y,z)$ tales que



$$2^w3^x-5^y7^z=1.$$

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CUARENTENA Problema 4


Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $A<45^{\circ}$. Sea $D$ un punto en el triángulo $ABC$ tal que $BD=CD$ y $\angle BDC=4\angle A$. El punto $E$ es la reflexión de $C$ por $AB$ y el punto $F$ es la reflexión de $B$ por $AC$. Probar que $AD$ y $ [

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