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Ver último mensaje sin leer Adjunto(s) OFO 2019


OMA Foros Open 2019

Vuelve el clásico del verano de OMA Foros, en su quinta edición!

¿Qué es el OFO?
El OFO (OMA Foros Open) consistirá en una competencia online ABIERTA para todos los usuarios de OMA Foros que deseen participar.

¿Cuándo se llevará a cabo?
El Certamen se llevará a cabo a partir de las 00:00 hs del día Domingo 20 de Enero de 2019, y concluirá a las 23:59 del día Domingo 27 de Enero de 2019.

¿Cómo m [

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IMO 2001 - P2


Demostrar que $$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geqslant 1$$ para todos reales positivos $a,b,c$.

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IMO 2001 - P1


Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $P$ el pie de la altura desde $A$. Supongamos que $\angle BCA\geqslant \angle ABC+30°$.

Demostrar que $\angle CAB+\angle COP<90°$.

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IMO 2002 - P6


Hay $n>2$ circunferencias de radio $1$ en el plano tales que ninguna recta interseca a más de dos de ellos. Sean $O_1,O_2,\ldots ,O_n$ los centros de las circunferencias. Demostrar que $\sum \limits_{i<j}\frac{1}{O_iO_j}\leqslant (n-1)\frac{\pi}{4}$.

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IMO 2002 - P5


Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$(f(x)+f(y))(f(u)+f(v))=f(xu-yv)+f(xv+yu)$$ para todos $x,y,u,v\in \mathbb{R}$.

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IMO 2002 - P4


Sea $n>1$ un entero, y sean $d_1<d_2<\ldots <d_k$ los divisores positivos de $n$, de forma que $d_1=1$ y $d_k=n$. Sea $d=d_1d_2+d_2d_3+\ldots +d_{k-1}d_k$. Demostrar que $d<n^2$ y hallar todos los $n$ tales que $d$ divide a $n^2$.

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