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  • El FOFO y La Cuarentena
III FOFO de Pascua!

Ya arrancó el FOFO de Pascua para suavizar la cuarentena!
Problemas del FOFO de Pascua
Más info sobre el FOFO aquí.


LA CUARENTENA

¡Ya empezó la CUARENTENA! Una competencia para exolímpicos organizada por olímpicos.
Problemas de LA CUARENTENA
Más info sobre "La Cuarentena" aquí.


  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Sea $p>3$ un primo. Demostrar que si $$\sum \limits_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i^p}=\frac{n}{m}$$ con $n$ y $m$ enteros positivos coprimos, entonces $p^3$ divide a $n$.
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Problema del día de Geometría:
Sea $ABCD$ un cuadrado y sea $P$ un punto en su interior. Se sabe que el área del triángulo $PAB$ es $10$, el área del triángulo $PBC$ es $30$, y el área del triángulo $PCD$ es $40$.
Hallar el valor del área del triángulo $PDA$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En el tablero están escritos el $3$ y el $11$:$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\quad & 3 & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad & 11 & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$Completa el tablero de modo que al sumar los números de cuatro casilleros consecutivos el resultado sea siempre $49$ y, además, la suma de los trece números del tablero sea igual a $166$.
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  • Últimos temas

CUARENTENA Problema 5


Hallar todos los reales positivos $c$ tales que para todo triángulo acutángulo $ABC$ con área $T$ y para todo punto $P$ en el plano vale que



$$(AP+BP+CP)^2\geq cT.$$

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CUARENTENA Problema 6


Definimos la sucesión $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de la siguiente manera: $a_1=\frac{1}{2}$ y para todo $k$ entero positivo $$a_{2k}=\sum_{i=1}^{k-1}{a_ia_{2k-i}}+\frac{a_k^2}{2},\quad a_{2k+1}=\sum_{i=1}^{k}{a_ia_{2k+1-i}}.$$
Calcular $\sum_{i=1}^{\inft [

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CUARENTENA Problema 7


Determinar todos los pares de enteros $(x, y)$ mayores a $1$ tales que $y^x$ divide a $x^y - 1$.

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CUARENTENA Problema 8


Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. Determinar el mayor valor de $n$ tal que existen conjuntos $A_1, A_2,..., A_n$ y $B_1, B_2,..., B_n$ tales que:\\

i) Los conjuntos $A_1, A_2,..., A_n$ tienen $a$ elementos cada uno.

ii) Los conjuntos $B_1, B_2,..., [

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CUARENTENA Problema 9


Sean $a$, $b$, $c$ reales no nulos que satisfacen $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc}=0$. Hallar el máximo valor de

$$\frac{4}{a^2+1}+\frac{4}{b^2+1}+\frac{7}{c^2+1}.$$

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