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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Ana, Bruno, Celia y Dirce están en un parque y deciden jugar con una pelota. Cada niño que recibe la pelota debe pasársela a otro niño. ¿De cuántas maneras diferentes puede ser Ana la primera en lanzar la pelota y tenerla de regreso después de:
a) $3$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a para Dirce, quien se la pasa a Ana.
b) $4$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a Ana, quien se la pasa a Celia, quien se la devuelve a Ana.
c) $10$ movimientos?
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Problema del día de Geometría:
Sea $\gamma _A$, $\gamma _B$ y $\gamma _C$ los excírculos del triángulo $ABC$, tangentes a los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, $\ell _A$ denota la tangente común exterior a $\gamma _B$ y $\gamma _C$, distinta de $BC$, de igual forma definimos $\ell _B$ y $\ell _C$. La tangente desde el punto $P$ de $\ell _A$ a $\gamma _B$, distinta de $\ell_A$, corta a $\ell _C$ en el punto $X$, de la misma forma, la tangente desde $P$ a $\gamma _C$ corta a $\ell _B$ en $Y$, probar que $XY$ es tangente a $\gamma _A$.
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Problema del día de Ñandú:
En cada casilla de un tablero de $3\times 4$ hay que escribir un número de manera que se cumplan las siguientes condiciones:$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
\end{array}$$
  • Cada número es el triple de su vecino de arriba.
  • Cada número es la mitad de su vecino de la izquierda.
  • La suma de los $12$ números escritos en el tablero es igual a $2730$.
Muestra cómo hacerlo.
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triángulo: punto notable?


Sea $ABC $ un triángulo y $\Gamma $ su circuncírculo. Sea $A'$ el punto de tangencia del $A-$incírculo mixtilineo con $\Gamma $ y defino $B'$ y $C'$ de la misma manera.



Probar que $AA' , BB' , CC'$ son concurrentes

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TST China 2021, prueba 4, día 1, problema 2


Sea $ABC$ un triángulo de incentro $I$ y $\Gamma$ la circunferencia circunscrita a éste.

$D$ es un punto sobre $\Gamma$ tal que $AD\parallel BC$, $E$ es el punto de tangencia del $A$-excírculo con $BC$ y $F$ un punto interior al triángulo $ABC$ tal que $IF\parallel BC$ y $B\hat{A}F=E\hat {A}C$.

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $\stackrel{\textstyle\frown}{BAC}$ y $\stackrel{\textstyle\frown}{BC}$ respectivamente ($N$ en el semiplano de borde $BC$ que no contiene ni a $A$ ni a $M$).

$G=NF\cap \Gamma$

$L=AG\cap IF$

$K=AF\cap DI$



Probar que $NK\perp ML$.

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Ecuaciones funcionales discretas


Buenas, dejo el apunte que escribimos con @lucasdeamorin y @Matías V5 sobre Ecuaciones Funcionales Discretas (aquellas que tienen como dominio los naturales o los enteros), este tipo de problemas aparece en Selectivos de IMO e Ibero y en muchas competencias internacionales.
Para poder aprovechar al máximo este apunte, recomendamos fuertemente que el lector se encuentre ya familiarizado con el concepto de ecuaciones funcionales y con ciertas ideas típicas utilizadas para resolverlas. Para ello, lo mejor es haber leído previamente el siguiente apunte. Es importante destacar que muchas de estas técnicas seguirán siendo muy útiles a la hora de resolver ecuaciones funcionales discretas; la inyectividad, la sobreyectividad, el trabajo con desigualdades y los reemplazos clásicos son algunos ejemplos de esto. Por otro lado, la restricción a los elementos enteros nos abre las puertas para poder aplicar argumentos de divisibilidad, congruencias, elementos mínimos y da lugar a una herramienta muy fuerte: la inducción.
¡Esperamos que lo disfruten! Cualquier duda o comentario al respecto del apunte escríbanlo acá.

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Segundo Pretorneo de Ciudades-Nivel Juvenil-P4 2018


Sean $K$ un punto de la hipotenusa $AB$ de un triángulo rectángulo $ABC$, y $L$ un punto del cateto $AC$ tal que $AK=AC$ y $BK=LC$. Sea $M$ el punto de intersección de los segmentos $BL$ y $CK$. Demostrar que el triángulo $CLM$ es isósceles.

6 PUNTOS

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Segundo Pretorneo de Ciudades-Nivel Juvenil-P3 2018


Tres números enteros positivos son tales que cada uno de ellos es divisible por el máximo común divisor de los otros dos números, y el mínimo común múltiplo de cada par de números es divisible por el tercero. Determinar si esto implica que los tres números son necesariamente iguales.



5 PUNTOS

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