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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Si $a,b,c\in [-1,1]$ son tales que $a+b+c+abc=0$, demostrar que$$a^2+b^2+c^2\geq 3(a+b+c)$$¿Cuándo vale la igualdad?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $ABC$ un triángulo con $AB=13$, $BC=15$ y $AC=9$. Sea $r$ la recta paralela a $BC$ trazada por $A$. La bisectriz del ángulo $\angle ABC$ corta a $r$ en $E$ y la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ corta a $r$ en $F$. Calcular la medida del segmento $EF$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En el pueblo “Todos conectados”, el mes pasado, del total de las casas, el $50\%$ estaban conectadas a TV por cable y a Internet, el $30\%$ sólo estaban conectadas a TV por cable y el $20\%$ sólo estaban conectadas a Internet.
Este mes, la sexta parte de las casas conectadas sólo a TV por cable se abonaron además a Internet; la cuarta parte de las casas conectadas sólo a Internet se abonaron además a TV por cable; las restantes no hicieron ningún cambio.
El abono mensual para ambos servicios es de $\$210$; sólo para TV de $\$140$ y sólo para Internet de $\$100$.
Si todas las casas pagaran su abono, este mes se recaudarían $\$151360$.
¿Cuántas casas están conectadas sólo a Internet este mes?
Link al tema.


  • Últimos temas

OMAlbum - Problema #A025


En un torneo de fútbol participan $20$ equipos y cada equipo juega una vez contra cada uno de los restantes. Si un partido termina en empate, ambos equipos ganan $1$ punto; si no, el ganador gana $3$ puntos y el perdedor $0$ puntos.

Al finalizar el torneo hubo un equipo con $57$ puntos, nueve equipos con $38$ puntos, nueve equipos con $11$ puntos y un equipo con $0$ puntos.

¿Cuántos empates hubo en el torneo?

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Mejor punto de encuentro


En CEBA (Ciudad Euclídea de Buenos Aires) todos los habitantes son puntos distintos en un plano euclídeo. Un día, un grupo de amigos en la Ciudad decide juntarse en algún punto de la misma. Para esto, los amigos deciden de antemano un punto de encuentro en la Ciudad. Entonces, el día pactado, todos los amigos salen de sus posiciones iniciales (puntos distintos en el plano) a la misma hora y se dirigen hacia el punto de encuentro, caminando en línea recta a la misma velocidad (constante).



Los amigos, geómetras expertos, quieren buscar un punto de encuentro tal que el último de los amigos en llegar tarda el menor tiempo posible. Determinar un procedimiento que les permita a los amigos, conociendo las posiciones iniciales de todos los del grupo, encontrar el punto que buscan.

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OMAlbum - Problema #A024


Sea $ABCD$ un rectángulo de área $376$. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AD$ respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo $CFE$?

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OMAlbum - Problema #A023


¿Cuál es el menor número natural que es múltiplo de $45$ y está formado exclusivamente por dígitos $5$ y $6$?

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OMAlbum - Problema #A022


Melanie escribió la lista de números $$1,\, 23,\, 456,\, 78910,\, 1112131415,\, 161718192021,\, \ldots $$ La lista se construye de acuerdo a las siguientes reglas. El primer número de la lista es el $1$; el segundo número de la lista se obtiene concatenando los siguientes dos enteros; el tercer número de la lista se obtiene concatenando los siguientes tres enteros; el cuarto número de la lista se obtiene concatenando los siguientes cuatro enteros; etcétera.
¿En qué posición de la lista aparece por primera vez la secuencia de dígitos $4321$?
Por ejemplo, la secuencia de dígitos $202$ aparece por primera vez en la posición número $6$ de la lista (es decir, en el sexto número de la lista).

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