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IMO 2005 - P5


Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BC=AD$ y $BC\not \parallel AD$. Sean $E$ y $F$ puntos en los lados $BC$ y $AD$, respectivamente, que satisfacen $BE=DF$. Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en $P$, las rectas $BD$ y $EF$ se cortan en $Q$, las rec [

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IMO 2005 - P4


Consideremos la sucesión infinita $a_1,a_2,\ldots$ definida por $$a_n=2^n+3^n+6^n-1$$ para cada entero $n\geqslant 1$.

Determine todos los enteros positivos que son coprimos con todos los términos de la sucesión.

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IMO 2005 - P3


Sean $x$, $y$, $z$ números reales positivos tales que $xyz\geqslant 1$.

Demuestre que $$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\geqslant 0.$$

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IMO 2005 - P2


Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión de enteros que tiene infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. Supongamos que para cada entero positivo $n$, los números $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ tienen $n$ restos distintos en la división por $n$. De [

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Adjunto(s) IMO 2005 - P1


Se eligen seis puntos en los lados de un triángulo equilátero $ABC$: $A_1$ y $A_2$ en $BC$, $B_1$ y $B_2$ en $CA$, $C_1$ y $C_2$ en $AB$. Estos puntos son los vértices de un hexágono convexo $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ cuyos lados son todos iguales. Demuest [

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