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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Sea $t_1,t_2,t_3,\ldots$ una sucesión infinita formada por enteros positivos tal que, para todo entero positivo $k$, los números $t_1,t_2,\ldots ,t_k$ dejan restos distintos al ser divididos entre $k$. Determine el mayor valor posible de $|t_{20}-t_{18}|$.

Aclaración: Si $n$ y $q$ son enteros positivos, al dividir $n$ entre $q$ el resto puede ser uno de los números $0,1,\ldots ,q-1$.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Hallar todos los valores posibles del entero $n>3$ tal que existe un polígono convexo de $n$ lados tal que cada diagonal es la mediatriz de al menos otra diagonal.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En la figura:
n2 reg 2009 p2.jpg
$ABGF$ es un cuadrado, $DEFG$ es un rectángulo, $BCG$ y $CDG$ son triángulos rectángulos.
$CG$ mide $12\text{ cm}$.
El perímetro de $ABCF$ es $80\text{ cm}$.
El perímetro del triángulo $BCG$ es $48\text{ cm}$.
El área del rectángulo $DEFG$ es $144\text{ cm}^2$.
El perímetro del triángulo $CDG$ es $36\text{ cm}$.
¿Cuál es el perímetro y cuál es el área de la figura $ABCDE$?
Link al tema.


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hola soy alexis!


hola soy alexis!

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EPIC SUMA


Sean [math], [math] demostrar:

[math]

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Inversión


La inversión es una herramienta muy útil en geometría, sobre todo cuando tenemos muchos círculos y líneas que nos confunden. Pero primero vamos a definirla:
La inversión es una función de un plano o espacio sin un punto fijo O en sí misma, determinada por un círculo [math], un centro [math] y un radio [math], que lleva al punto [math] al punto [math] sobre la semirrecta [math] tal que [math]
.
Bueno, esto dicho de manera más simple es que para invertir necesitamos tener 3 cosas: un punto (llamemoslo por comodidad [math]) y un radio (llamemoslo por comodidad [math]), que determinan un círculo. Ahora, invertir es llevar a algún punto [math] en el plano a un punto [math] que está sobre la semirrecta [math] y que cumple que [math].

Esto así son definiciones y no parecen tener mucho sentido, pero invertir tiene muchas propiedades muy útiles:
Sean [math] y [math] dos puntos en el plano. Por semejanza es facil observar que [math] y que [math].
Además, se cumple que si invertimos:
* Una recta que pasa por [math] --> se invierte sobre sí misma.
* Un círculo que pasa por [math] --> se invierte a una recta que no pasa por [math] y es paralela a la tangente del círculo que pasa por [math].
* Una recta que no pasa por [math] --> se invierte a un círculo que pasa por [math] cuya tangente es paralela a la recta original.
* Un círculo que no pasa por [math] --> se invierte a un círculo que tampoco pasa por [math].

Con estas propiedades ya podemos resolver unos cuantos problemas:

Problema 1: (Shortlist IMO 2003) Sean [math], [math], [math], [math] círculos tales que [math] y [math] son tangentes externamente en [math] y [math] y [math] son también tangentes externamente en [math]. Supongamos que [math] y [math]; [math] y [math]; [math] y [math]; [math] y [math] se cortan en [math], [math], [math] y [math] respectivamente.
Demostrar que [math].

Solución
Spoiler: mostrar
Consideremos la inversión con centro [math] y algún radio [math]. Los círculos [math], [math], [math] y [math] se invierten en rectas [math], [math], [math], [math] respectivamente y tales que [math] y [math]. Los puntos de intersección de los círculos se invierten a los puntos de intersección entre las rectas, entonces [math] es un paralelogramo, con [math] y [math].
Ahora por una de las definiciones, sabemos que [math], entonces [math]. Analogamente con cada uno de los segmentos [math], [math] y [math] tenemos que:
[math]
[math]
Como ejercicio, pueden demostrar el teorema de Ptolomeo, que dice así:
En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.
.

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Teorema de Wilson


[math] es un numero primo si y solo si [math]

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Hola


Bueno, me presento:



Soy Franco Tralice, soy de Tucumán, y participo en OMA desde 6to grado...

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