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FOFO ANIVERSARIO: 9+1 AÑOS

Llegó el décimo aniversario de OMA Foros, y para celebrar tantos años de problemas (matemáticos), vamos a largar una nueva edición del FOFO!

¿Qué es el FOFO?
Es como un falso OFO (y OFO es la competencia online que hacemos durante el verano, también conocido como el falso FOFO).

¿Cuándo se llevará a cabo?
La competencia se llevará a cabo desde el Viernes 4 de Diciembre a las 20:20 hasta el Martes 8 de Diciembre a las 23:59.

¿Cómo me inscribo?
Comentando en este post "me inscribo" o algo similar.

¿Cómo es el sistema?
Cuando sea la competencia vamos a proponer una cierta cantidad de problemas. Estos problemas se van a publicar el VIERNES 4 DE DICIEMBRE A LAS 20:20 aquí en el foro en un post CERRADO (nadie va a poder responder en el propio post). La solución a cada problema la deberán enviar por mensaje privado a quien figure como autor del post (que además será el encargado de corregir dicha solución). Tendrán tiempo para enviar soluciones hasta el Martes 8 de Diciembre a las 23:59.

¿Cómo es el sistema de corrección?
Los puntajes consisten en un número entero entre 0 y 7.

¿Cómo me entero de cómo me fue?
Una vez concluido el período de envío de soluciones se publicará una lista con los primeros puestos. Los participantes que obtengan mayor puntaje recibirán una medallita especial, y los demás que también tengan un buen desempeño recibirán una mención especial.

¿Pueden participar ex-olímpicos?
No pueden participar ex-olímpicos. Es sólo para actuales participantes de olimpíadas.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
No, aplican las mismas restricciones que en una prueba presencial. La idea de esta competencia es que les sirva como entrenamiento para las demás pruebas. Como no podemos verificar esto, es responsabilidad de ustedes cumplirlo. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis hechas utilizando algún software, como Geogebra.

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Si $a,b,c\in [-1,1]$ son tales que $a+b+c+abc=0$, demostrar que$$a^2+b^2+c^2\geq 3(a+b+c)$$¿Cuándo vale la igualdad?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $ABC$ un triángulo con $AB=13$, $BC=15$ y $AC=9$. Sea $r$ la recta paralela a $BC$ trazada por $A$. La bisectriz del ángulo $\angle ABC$ corta a $r$ en $E$ y la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ corta a $r$ en $F$. Calcular la medida del segmento $EF$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En el pueblo “Todos conectados”, el mes pasado, del total de las casas, el $50\%$ estaban conectadas a TV por cable y a Internet, el $30\%$ sólo estaban conectadas a TV por cable y el $20\%$ sólo estaban conectadas a Internet.
Este mes, la sexta parte de las casas conectadas sólo a TV por cable se abonaron además a Internet; la cuarta parte de las casas conectadas sólo a Internet se abonaron además a TV por cable; las restantes no hicieron ningún cambio.
El abono mensual para ambos servicios es de $\$210$; sólo para TV de $\$140$ y sólo para Internet de $\$100$.
Si todas las casas pagaran su abono, este mes se recaudarían $\$151360$.
¿Cuántas casas están conectadas sólo a Internet este mes?
Link al tema.


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