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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Ana, Bruno, Celia y Dirce están en un parque y deciden jugar con una pelota. Cada niño que recibe la pelota debe pasársela a otro niño. ¿De cuántas maneras diferentes puede ser Ana la primera en lanzar la pelota y tenerla de regreso después de:
a) $3$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a para Dirce, quien se la pasa a Ana.
b) $4$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a Ana, quien se la pasa a Celia, quien se la devuelve a Ana.
c) $10$ movimientos?
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Problema del día de Geometría:
Sea $\gamma _A$, $\gamma _B$ y $\gamma _C$ los excírculos del triángulo $ABC$, tangentes a los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, $\ell _A$ denota la tangente común exterior a $\gamma _B$ y $\gamma _C$, distinta de $BC$, de igual forma definimos $\ell _B$ y $\ell _C$. La tangente desde el punto $P$ de $\ell _A$ a $\gamma _B$, distinta de $\ell_A$, corta a $\ell _C$ en el punto $X$, de la misma forma, la tangente desde $P$ a $\gamma _C$ corta a $\ell _B$ en $Y$, probar que $XY$ es tangente a $\gamma _A$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En cada casilla de un tablero de $3\times 4$ hay que escribir un número de manera que se cumplan las siguientes condiciones:$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
\end{array}$$
  • Cada número es el triple de su vecino de arriba.
  • Cada número es la mitad de su vecino de la izquierda.
  • La suma de los $12$ números escritos en el tablero es igual a $2730$.
Muestra cómo hacerlo.
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Cuaterna escondida


Sea $P $ un punto exterior a una circunferencia $\mathcal {C}$. Desde $P $ se trazan 2 rectas secantes $r $ y $s$ a $\mathcal {C}$ tales que quedan los siguientes puntos:
$X,Y = r \cap \mathcal {C} $ ; $W,Z = s \cap \mathcal {C}$
Sean los puntos: $A = XW \cap YZ $ ; $C = XZ \cap WY $ y sean $B $ y $D $ los puntos en $\mathcal {C}$ tales que $BP $ y $DP $ son tangentes a $\mathcal {C} $

El problema pide probar que éstos 4 puntos forman una cuaterna armónica

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Conjugados Ciclocevianos


Dado un triángulo $ABC $ y un punto $D $ en el plano, sean los puntos

$E = AB \cap CD $

$F = AC \cap BD $

$G = BC \cap AD $

y $\mathcal {C}$ la circunferencia que pasa por $E, F, G $



Defino lo os siguientes puntos:

$H = AB \cap \mathcal {C} $

$I = AC \cap \mathcal {C} $

$J = BC \cap \mathcal {C} $



Entonces las rectas $CH, BI, AJ$ son concurrentes.

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Recta de Newton


dado el cuadrilátero $ABCD $ sean
$E = AB \cap CD $
$F = AD \cap BC $
para formar el cuadrilátero completo. (Ver imagen)
Spoiler: mostrar
Screenshot_2021-04-08-23-23-07-1.png
Sean $G, H, I, J $ los puntos medios de los lados $AB, BC, CD, DA $ respectivamente y $K = GI \cap HJ $

Por último sean $L, M, N $ los puntos medios de las diagonales $AC, BD, EF $


Dados estos puntos definidos así, se cumple que $K, L, M, N$ son colineales y además $K $ es punto medio de $ML $




Temas relacionados:
Línea de Newton
Línea de Newton-Gauss
Teorema de Anne

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Circunferencias y concurrencias


Sea $ABC $ un triángulo con incírculo $\Gamma_1$ y circuncírculo $\Gamma_2$.

Sea $D $ un punto en $\Gamma_2$, se traza una tangente por $D $ a $\Gamma_1$ que corta a $\Gamma_2$ en el punto $E $.

Las otras tangentes a $\Gamma_1$ por $D $ y $E $ se cortan en $F $.



Probar que $F \in \Gamma_2$

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Irán 1995


Sean $M, N, P$ los puntos de intersección del incírculo del triángulo $ABC$ con los lados $AB, BC, CA $ respectivamente.



Probar que el ortocentro del triángulo $MNP $, el incentro de $ABC $ y el circuncentro de $ABC $ son colineales.

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