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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Ana, Bruno, Celia y Dirce están en un parque y deciden jugar con una pelota. Cada niño que recibe la pelota debe pasársela a otro niño. ¿De cuántas maneras diferentes puede ser Ana la primera en lanzar la pelota y tenerla de regreso después de:
a) $3$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a para Dirce, quien se la pasa a Ana.
b) $4$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a Ana, quien se la pasa a Celia, quien se la devuelve a Ana.
c) $10$ movimientos?
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Problema del día de Geometría:
Sea $\gamma _A$, $\gamma _B$ y $\gamma _C$ los excírculos del triángulo $ABC$, tangentes a los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, $\ell _A$ denota la tangente común exterior a $\gamma _B$ y $\gamma _C$, distinta de $BC$, de igual forma definimos $\ell _B$ y $\ell _C$. La tangente desde el punto $P$ de $\ell _A$ a $\gamma _B$, distinta de $\ell_A$, corta a $\ell _C$ en el punto $X$, de la misma forma, la tangente desde $P$ a $\gamma _C$ corta a $\ell _B$ en $Y$, probar que $XY$ es tangente a $\gamma _A$.
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Problema del día de Ñandú:
En cada casilla de un tablero de $3\times 4$ hay que escribir un número de manera que se cumplan las siguientes condiciones:$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
\end{array}$$
  • Cada número es el triple de su vecino de arriba.
  • Cada número es la mitad de su vecino de la izquierda.
  • La suma de los $12$ números escritos en el tablero es igual a $2730$.
Muestra cómo hacerlo.
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IMO 2021 - Problema 1


Sea $n\geq 100$ un entero. Iván escribe cada uno de los números $n,n+1,\ldots ,2n$ en un naipe diferente. Después de barajar estos $n+1$ naipes, los divide en dos pilas distintas. Probar que al menos una de esas pilas contiene dos naipes tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

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Puntos sobre una circunferencia


Dado $n\in \mathbb{N}$, sean $P,P_1,P_2,\cdots ,P_{2n}$, $2n+1$ puntos distintos de una circunferencia $\omega$ (en ese orden). Probar que $$\prod \limits _{i=1}^nd(P,P_{2i-1}P_{2i})=\prod \limits _{i=1}^nd(P,P_{2i}P_{2i+1})$$donde $d(P,AB)$ es la distancia desde el punto $P$ a la recta $AB$.

Nota: por comodidad $P_{2n+1}=P_1$

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Cono Sur 2004 - P6


Sean $m,n$ enteros positivos. En un tablero de $m \times n$, cuadriculado en cuadraditos de $1 \times 1$, consideramos todos los caminos que van del vértice superior derecho al inferior izquierdo, recorriendo líneas de la cuadrícula exclusivamente en las direcciones $\leftarrow$ y $\downarrow$.
Se define el área de un camino como la cantidad de cuadraditos del tablero que hay por debajo de ese camino.
Sea $p$ un primo tal que $r_p(m) + r_p(n) \geq p$, donde $r_p(m)$ denota el resto de dividir $m$ por $p$ y $r_p(n)$ denota el resto de dividir $n$ por $p$.
¿Cuántos caminos tienen área múltiplo de $p$?

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Relaciones de lados en el incírculo


Sea $ABC$ un triangulo, $\omega$ su incírculo, $I$ su incentro y $M$ el punto medio de $BC$, sean $E,F$ los puntos de contacto de $\omega$ con $AB,AC$, respectivamente, y los puntos $L=AM\cap EF$, $P=CI\cap EF$, $Q=BI\cap EF$.



Probar que $LF\cdot LQ=LE\cdot LP$.

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Primer Pretorneo 2015 - NM P3


Durante un año escolar Boris (que es ruso) anotó todas sus notas en matemática. En Rusia las posibles notas son cuatro: $2$, $3$, $4$ o $5$. Diremos que la nota que está por anotar es sorprendente si hasta ese momento, justo antes de esa nota, la nota apareció menos veces que todas las otras tres notas. (Por ejemplo, si la sucesión de notas fuera $3,4,2,5,5,5,2,3,4,3$, entonces las sorprendentes son el primer $5$ y el segundo $4$.) Resulta que al finalizar el año Boris tiene anotadas $40$ notas y cada posible nota figura exactamente $10$ veces (el orden de las notas es desconocido). Determinar si es posible saber el número de notas sorprendentes.



5 puntos

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