OMA Foros

Sea $n\geq 100$ un entero. Iván escribe cada uno de los números $n,n+1,\ldots ,2n$ en un naipe diferente. Después de barajar estos $n+1$ naipes, los divide en dos pilas distintas. Probar que al menos una de esas pilas contiene dos naipes tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

Dado $n\in \mathbb{N}$, sean $P,P_1,P_2,\cdots ,P_{2n}$, $2n+1$ puntos distintos de una circunferencia $\omega$ (en ese orden). Probar que $$\prod \limits _{i=1}^nd(P,P_{2i-1}P_{2i})=\prod \limits _{i=1}^nd(P,P_{2i}P_{2i+1})$$donde $d(P,AB)$ es la distancia desde el punto $P$ a la recta $AB$.

Nota: por comodidad $P_{2n+1}=P_1$

Sean $m,n$ enteros positivos. En un tablero de $m \times n$, cuadriculado en cuadraditos de $1 \times 1$, consideramos todos los caminos que van del vértice superior derecho al inferior izquierdo, recorriendo líneas de la cuadrícula exclusivamente en las direcciones $\leftarrow$ y $\downarrow$.
Se define el área de un camino como la cantidad de cuadraditos del tablero que hay por debajo de ese camino.
Sea $p$ un primo tal que $r_p(m) + r_p(n) \geq p$, donde $r_p(m)$ denota el resto de dividir $m$ por $p$ y $r_p(n)$ denota el resto de dividir $n$ por $p$.
¿Cuántos caminos tienen área múltiplo de $p$?

Sea $ABC$ un triangulo, $\omega$ su incírculo, $I$ su incentro y $M$ el punto medio de $BC$, sean $E,F$ los puntos de contacto de $\omega$ con $AB,AC$, respectivamente, y los puntos $L=AM\cap EF$, $P=CI\cap EF$, $Q=BI\cap EF$.

Probar que $LF\cdot LQ=LE\cdot LP$.

Durante un año escolar Boris (que es ruso) anotó todas sus notas en matemática. En Rusia las posibles notas son cuatro: $2$, $3$, $4$ o $5$. Diremos que la nota que está por anotar es sorprendente si hasta ese momento, justo antes de esa nota, la nota apareció menos veces que todas las otras tres notas. (Por ejemplo, si la sucesión de notas fuera $3,4,2,5,5,5,2,3,4,3$, entonces las sorprendentes son el primer $5$ y el segundo $4$.) Resulta que al finalizar el año Boris tiene anotadas $40$ notas y cada posible nota figura exactamente $10$ veces (el orden de las notas es desconocido). Determinar si es posible saber el número de notas sorprendentes.

5 puntos

OMA Foros

IMO 2021 - Problema 1

Puntos sobre una circunferencia

Cono Sur 2004 - P6

Relaciones de lados en el incírculo

Primer Pretorneo 2015 - NM P3