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FOFO ANIVERSARIO: 9+1 AÑOS

Llegó el décimo aniversario de OMA Foros, y para celebrar tantos años de problemas (matemáticos), vamos a largar una nueva edición del FOFO!

¿Qué es el FOFO?
Es como un falso OFO (y OFO es la competencia online que hacemos durante el verano, también conocido como el falso FOFO).

¿Cuándo se llevará a cabo?
La competencia se llevará a cabo desde el Viernes 4 de Diciembre a las 20:20 hasta el Martes 8 de Diciembre a las 23:59.

¿Cómo me inscribo?
Comentando en este post "me inscribo" o algo similar.

¿Cómo es el sistema?
Cuando sea la competencia vamos a proponer una cierta cantidad de problemas. Estos problemas se van a publicar el VIERNES 4 DE DICIEMBRE A LAS 20:20 aquí en el foro en un post CERRADO (nadie va a poder responder en el propio post). La solución a cada problema la deberán enviar por mensaje privado a quien figure como autor del post (que además será el encargado de corregir dicha solución). Tendrán tiempo para enviar soluciones hasta el Martes 8 de Diciembre a las 23:59.

¿Cómo es el sistema de corrección?
Los puntajes consisten en un número entero entre 0 y 7.

¿Cómo me entero de cómo me fue?
Una vez concluido el período de envío de soluciones se publicará una lista con los primeros puestos. Los participantes que obtengan mayor puntaje recibirán una medallita especial, y los demás que también tengan un buen desempeño recibirán una mención especial.

¿Pueden participar ex-olímpicos?
No pueden participar ex-olímpicos. Es sólo para actuales participantes de olimpíadas.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
No, aplican las mismas restricciones que en una prueba presencial. La idea de esta competencia es que les sirva como entrenamiento para las demás pruebas. Como no podemos verificar esto, es responsabilidad de ustedes cumplirlo. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis hechas utilizando algún software, como Geogebra.

Demuestre que existe un conjunto $\mathcal{C}$ de $2020$ enteros positivos y distintos que cumple simultáneamente las siguientes propiedades:

Cuando se calcula el máximo común divisor de cada dos elementos de $\mathcal{C}$, se obtiene una lista de números todos distintos.
Cuando se calcula el mínimo común múltiplo de cada dos elementos de $\mathcal{C}$, se obtiene una lista de números todos distintos.

Lucía escribió una lista de números enteros en el pizarrón. La lista de Lucía tiene más de $100$ y menos de $600$ números.

Uno de esos números es $2020$. La suma de todos los números de la lista de Lucía es igual a $2020$, y también el producto de todos los números de la lista de Lucía es igual a $2020$.

Teniendo esta información, ¿cuántas posibilidades hay para la cantidad de números en la lista de Lucía?

Sea $n\geqslant 2$ un entero. Una sucesión $\alpha =(a_1,a_2,\ldots ,a_n)$ de $n$ números enteros se dice limeña si$$\text{mcd}\{a_i-a_j\quad \text{tal que}\quad a_i>a_j\quad \text{y}\quad 1\leqslant i,j\leqslant n\}=1$$es decir, si el máximo común divisor de todas las diferencias $a_i-a_j$, con $a_i>a_j$, es $1$.
Una operación consiste en escoger dos elementos $a_k$ y $a_\ell$ de una sucesión, con $k\neq \ell$, y reemplazar $a_\ell$ por $a_\ell '=2a_k-a_\ell$.
Demuestre que, dada una colección de $2^n-1$ sucesiones limeñas, cada una formada por $n$ números enteros, existen dos de ellas, digamos $\beta$ y $\gamma$, tales que es posible transformar $\beta$ en $\gamma$ mediante un número finito de operaciones.

Notas.

Las sucesiones $(1,2,2,7)$ y $(2,7,2,1)$ tienen los mismos elementos pero son diferentes.
Si todos los elementos de una sucesión son iguales, entonces esa sucesión no es limeña.

Para cada entero positivo $n$, se define $T_n$ como el menor entero positivo tal que $1+2+\cdots +T_n$ es múltiplo de $n$. Por ejemplo, $T_5=4$ puesto que $1$, $1+2$ y $1+2+3$ no son múltiplos de $5$, pero $1+2+3+4$ sí es múltiplo de $5$.
Determine todos los enteros positivos $m$ tales que $T_m\geqslant m$.

Nota. Todo entero positivo es múltiplo de sí mismo.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno tal que $AB<AC$. Los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, son $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos en la recta $MN$ tales que $\angle CBP=\angle ACB$ y $\angle QCB=\angle CBA$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ intersecta a la recta $AC$ en $D$ ($D\neq A$) y la circunferencia circunscrita del triángulo $AQC$ intersecta a la recta $AB$ en $E$ ($E\neq A$). Demuestre que las recta $BC$, $DP$ y $EQ$ son concurrentes.

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