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Ver último mensaje sin leer Encuesta: : Concluyó la OFO 2021


CONCLUYÓ LA OFO 2021
Ya se encuentran abiertos los threads de los problemas. Próximamente vamos a publicar las soluciones oficiales allí. Mientras tanto, pueden aprovechar para contar qué hicieron en cada problema, o a qué resultados llegaron.

Ya está disponible la encuesta para votar sus problemas preferidos

En el transcurso de estos días vamos a mandar por mensaje privado las devoluciones de cada una de sus soluciones, con el correspondiente puntaje.
Además, vamos a estar pidiéndoles algunos datos, en particular su edad y nacionalidad, para poder otorgar los premios especiales como todos los años. Estén atentos.

Los resultados finales de la OFO van a estar pronto. Consultas al respecto háganlas aquí.

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Ángulos en 1:2:4 y CD=2AB


Sea $ABC$ un triángulo. Supongamos que existe un punto $D$ en el lado $AC$ tal que $CD=2AB$ y

$$B\hat{A}C=2\cdot D\hat{B}C = 4\cdot A\hat{C}B.$$

Hallar la medida de los ángulos del triángulo $ABC$.

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Lema para cuadriláteros cíclicos


Sea ABCD un cuadrilátero de tal forma que la medida de AB es distinta de AD.

AC es bisectriz del ángulo BAD

BC=CD



Si el cuadrilátero cumple esas condiciones entonces es cíclico



Para el caso en que AB=AD se cumple si AC es diámetro de la circunferencia, o sea,

<ABC = <ADC = 90

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Otro de geometría


Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle CAB=2\angle CBA$.

Sea $D$ un punto en la recta $AB$ tal que $AD>AB$ y $\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$.



Probar que se cumple la siguiente igualdad:

$2DC=AD+2AC$.

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Un problema de colinealidad


Sea $c$ una circunferencia de centro $O$ y $Q$ un punto exterior a ella.

Sean $A$ y $D$ dos puntos sobre la circunferencia de tal forma que $AQ$ y $DQ$ son tangentes a ésta.

Se ubica el punto $P$ exterior a la circunferencia pero dentro del área delimitada por el triángulo $AQD$.

Se trazan las tangentes $PB$ y $PC$ a la circunferencia de forma que queda formado el cuadrilátero $ABCD$.

Sea $R$ la intersección de la recta $PC$ y la recta $AQ$ y sea $S$ la intersección de la recta $PB$ con la recta $DQ$.

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $PQ$ y $RS$, respectivamente.



Probar que $M,N,O$ son colineales.

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Selectivo de Cono Sur 1999 P6


Sean $m\geq 2$, $n\geq 2$ números enteros. Se desea colorear las casillas de un tablero de $m\times n$ con blanco y negro de modo tal que cada casilla tenga exactamente dos vecinas del otro color. Determinar todos los valores de $m$ y $n$ para los cuales es posible hacer tal coloración.

Aclaración: Casillas vecinas son las que tienen un lado común.

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