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Resultados FOFO 12 años


Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios.

En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para los primeros 6 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron al menos 31 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 4 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 14 y 30 puntos), una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!
Spoiler: mostrar
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{Martín Lupin} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{BrunZo} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{NicoRicci} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{5} & \text{...} &\textbf{Medalla Especial}\\ \hline
\text{6} & \text{FabriATK} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Adriano Guinart} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\text{8} & \text{Tob.Rod} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{fran :)} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{lola.m} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicidades a todos!

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Se tienen $2017$ cajas en una fila numeradas del $1$ al $2017$. En cada una de ellas se pondrán algunas bolitas de colores de manera que cada bolita sea de alguno de $2017$ colores distintos. Un acomodo de bolitas en las cajas es confiable si se cumplen las siguientes condiciones:
(a) Si dos bolitas de colores distintos $A$ y $B$ están en cajas distintas no adyacentes entonces hay una caja entre estas dos que contiene una bolita de color $A$ o de color $B$.
(b) Si dos bolitas de colores distintos $A$ y $B$ están en cajas distintas no adyacentes entonces no hay una caja entre estas dos que contenga una bolita de color $A$ y otra de color $B$.
(c) Cada color tiene al menos dos bolitas de dicho color que están en cajas distintas.
Finalmente, definimos $\gamma_k$ como el número de colores distintos en la caja $k$. De entre todos los acomodos confiables encontrar el máximo valor de $\gamma_1+\gamma_2+\ldots+\gamma_{2017}$.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
El el triángulo [math], [math]. El incírculo de [math] tiene centro [math] y toca a los lados [math] y [math] en [math] y [math] respectivamente. Sean [math] y [math] las reflexiones de [math] y [math] con respecto a [math]. Probar que [math] están sobre una misma circunferencia.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Alicia tiene $6$ pañuelos, uno de cada color: azul, blanco, gris, negro, rojo y verde.
Quiere guardar los $6$ pañuelos en $3$ cajas.
Tiene una caja de tapa cuadrada, otra de tapa triangular y otra de tapa ovalada.
Ninguna caja debe quedar vacía y el pañuelo verde debe estar en la caja de tapa ovalada.
¿De cuántas maneras distintas puede guardar los $6$ pañuelos? Explica cómo los contaste.
Link al tema.


  • Últimos temas

PAGMO 2022 P4


Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq AC$. Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de las circunferencias $\omega _1$ y $\omega _2$ de diámetros $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $P$ un punto en el segmento $BC$ tal que $AP$ interseca a $\omega _1$ en el punto $Q$, con $Q\neq A$. Demostrar que los puntos $O_1$, $O_2$ y $Q$ son colineales si y sólo si $AP$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$.

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PAGMO 2022 P3


Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$. Sobre el segmento $BC$ se eligen puntos $P$ y $Q$ tales que $\angle BAP=\angle CAQ<\frac{\angle BAC}{2}$. $B_1$ es un punto en el segmento $AC$. $BB_1$ interseca a $AP$ y $AQ$ en $P_1$ y $Q_1$, respectivamente. Las bisectrices de $\angle BAC$ y $\angle CBB_1$ se cortan en $M$. Si $PQ_1\perp AC$ y $QP_1\perp AB$, demuestra que $AQ_1MPB$ es cíclico.

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PAGMO 2022 P2


Encontrar todas las tripletas $(p,q,r)$ de enteros positivos que cumplan que $p$ y $q$ son números primos (no necesariamente distintos), que $r$ es par y que$$p^3+q^2=4r^2+45r+103.$$

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PAGMO 2022 P1


Leticia tiene un tablero de $9\times 9$ casillas. Se dice que dos casillas son amigas si comparten un lado o si están en una misma columna, pero en extremos opuestos, o si están en una misma fila, pero en extremos opuestos. De esta forma, cada casilla tiene exactamente $4$ casillas amigas.
Leticia va a pintar cada casilla de uno de tres colores: verde, azul o rojo. Una vez que todas las casillas estén pintadas, en cada casilla va a escribir un número, siguiendo las siguientes reglas:
  • Si la casilla es verde, escribe la cantidad de casillas rojas amigas más dos veces la cantidad de casillas azules amigas.
  • Si la casilla es roja, escribe la cantidad de casillas azules amigas más dos veces la cantidad de casillas verdes amigas.
  • Si la casilla es azul, escribe la cantidad de casillas verdes amigas más dos veces la cantidad de casillas rojas amigas.
Encuentra el máximo valor posible de la suma de los números asignados a las casillas que Leticia pude obtener, sabiendo que ella puede escoger la coloración de las casillas del tablero.

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Mediatriz equidistante


Sea $ABCD$ un cuadrilatero inscrito en una circunferencia $\Gamma $. Sean $P$, la interseccion de $AB$ con $CD$ y $T$ un punto sobre $\Gamma$ tal que $PT$ sea una tangente a $\Gamma$. Perpendiculares a $TD$ por $T$ y a $BD$ por $D$ intersectan en $X$. Perpendiculares a $TC$ por $T$ y a $AC$ por $C$ intersectan en $Y$. Probar que $X$ e $Y$ se encuantran a igual distancia de la mediatriz de $CD$.

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