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CONCLUYÓ LA OFO 2023

Hoy se abrirán los threads de los problemas. Próximamente vamos a publicar las soluciones oficiales allí. Mientras tanto, pueden aprovechar para contar qué hicieron en cada problema, o a qué resultados llegaron.

Ya está disponible la encuesta para votar sus problemas preferidos.

En el transcurso de estos días vamos a mandar por mensaje privado las devoluciones de cada una de sus soluciones, con el correspondiente puntaje.
Además, vamos a estar pidiéndoles algunos datos, en particular su edad y nacionalidad, para poder otorgar los premios especiales como todos los años. Estén atentos.

Los resultados finales de la OFO van a estar pronto. Consultas al respecto háganlas aquí.

Sea $p$ un primo impar. Una $p$-tupla $(a_1,a_2,\ldots ,a_p)$ de números enteros se llama copera si verifica las siguientes condiciones:

$0\leq a_i\leq p-1$ para todo $1\leq i\leq p$.
$a_1+a_2+\cdots +a_p$ no es divisible por $p$.
$a_1a_2+a_2a_3+\cdots +a_{p-1}a_p+a_pa_1$ es divisible por $p$.

Determinar el numero de $p$-tuplas coperas, en función de $p$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos, no todos iguales. Demostrar que$$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{bc^2+ca^2+ab^2-3abc}\geq \frac{17}{9}.$$

Para cada entero positivo $n$, sean $\tau (n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$ y $\sigma (n)$ la suma de los divisores positivos de $n$. Por ejemplo $\tau (6)=4$ y $\sigma (6)=1+2+3+6=12$.
Decimos que un entero positivo $n$ es campeón mundial si $\tau (n)$ divide a $2^{\sigma (n)}-1$. Hallar todos los enteros positivos que son campeones mundiales.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $S$ la intersección de sus diagonales. Demostrar que $ABCD$ tiene una circunferencia inscrita si y sólo si los incentros de $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$ son concíclicos.

Después de ganar el Mundial, Messi fue invitado a levantar la copa en un estadio muy particular en Qatar. Como es muy observador, Lio se dio cuenta de que el estadio tiene forma de polígono, con área $A$ y perímetro $p$. Los jeques árabes le piden a Messi que elija $n$ puntos en el interior del estadio para colocar cámaras que lo filmarán levantando la copa. Para que la filmación sea óptima, cualesquiera dos de los puntos elegidos por Messi tienen que estar a distancia mayor o igual a $1$. Demostrar que si se cumplen estos requisitos, entonces necesariamente$$n\leq \frac{2}{\sqrt{3}}A+\frac{1}{2}p+1.$$

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OFO 2023 Problema 12

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OFO 2023 Problema 16