OMA Foros

Problema del día de OMA:
Hay que escribir los $169$ números enteros $1,2,\ldots ,168,169$ en las casillas de un tablero cuadrado cuadriculado de $13\times 13$, uno en cada casilla.
¿Puede hacerse de manera que la suma de los cuatro números escritos en cada subtablero de $2\times 2$ sea múltiplo de $170$?
Si la respuesta es sí, mostrar una manera de hacerlo. Si la respuesta es no, explicar por qué no es posible.

Nota: Un subtablero de $2\times 2$ es un cuadrado formado por $4$ casillas que tienen un vértice común.
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Problema del día de Geometría:
Sea $ABCDEF$ un hexágono cíclico y convexo tal que $AB = BC = CD = DE$. Supongamos que existe un punto $K$ en el segmento $AE$ tal que $B\widehat{K}C = K\widehat{F}E$ y $C\widehat{K}D = K\widehat{F}A$. Demostrar que $KC = KF$.
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Problema del día de Ñandú:
a) Juan escribe los números del $1$ al $12$, uno en cada casilla del tablero de manera que la suma de los $4$ números de cada fila es la misma para las $3$ filas. Muestra una manera de hacerlo.
¿De cuántas maneras se puede completar la primera fila empezando con el $12$ y con los otros tres números ordenados de mayor a menor?
Para cada una, muestra un tablero posible.$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$

b) ¿Podrá Juan poner los $12$ números en el tablero de manera que la suma de los $3$ números de cada columna sea la misma para las $4$ columnas?
Si es posible, muestra cómo. Si no es posible, explica por qué.
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