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¡Terminó la OFO 2025!
¡Ya están abiertos los posts para que subas tus soluciones!

¡Arrancó la OFO 2025!

ACLARACIÓN: En el Problema 15, los valores de las monedas NO son necesariamente enteros.

Para marcar el comienzo de la olimpíada favorita del verano, tenemos un pequeño FAQ para tener en cuenta a la hora de resolver los problemas y mandar las soluciones.

Si tengo una duda de enunciado, ¿dónde pregunto?
Las dudas de enunciado se preguntan respondiendo este post.

¿A dónde tengo que mandar las soluciones?
Por ejemplo, el problema 2 lo publicó el usuario "Ro Neffa". Clickeando el nombre del usuario se accede a su perfil, y allí hay un enlace que dice "Enviar mensaje privado". Al hacer click allí, verás un panel para que escribas tu solución. Una vez que la termines de escribir y revisar, al hacer click en enviar, "Ro Neffa" recibirá tu solución.

¿Cómo puedo escribir fórmulas matemáticas en las soluciones?
El foro tiene un sistema para eso llamado $\LaTeX$, en la guía de $\LaTeX$ se explica cómo usar muchos de los comandos que hay disponibles. No es necesario usarlo, pero recomendamos fuertemente hacerlo.
Si por algún motivo no podés escribir el mensaje de esta forma y necesitás enviar una hoja manuscrita, tenés que hacerlo de la misma forma que en las pruebas olímpicas de la pandemia: Escribí una solución con letra clara y legible, escaneala con alguna aplicación (camscanner por ejemplo) y enviá el PDF generado al jurado correspondiente. Es importante enviar cada solución en un solo archivo PDF.

¿Cómo adjunto un archivo en un mensaje?
Abajo del panel donde estás escribiendo tu solución hay cuatro botones "Cargar borrador", "Guardar borrador", "Vista previa" y "Enviar", luego hay una lista con diferentes opciones para el mensaje, y finalmente un botón que dice "Añadir archivos", que te permite elegir desde tu dispositivo los archivos que quieras agregar al mensaje.

¿Los problemas están ordenados por dificultad?
Aproximadamente sí. Esto es un poco subjetivo, y en general no es cierto que necesariamente el problema $n$ sea más fácil que el $n+1$. Nuestro consejo es arrancar pensando desde los primeros y avanzar hacia los últimos.

¿Cuándo tengo que mandar las soluciones?
Las podés mandar en cualquier momento entre las 00:00 hs del día 31 de enero de 2025 y las 23:59 hs del día 9 de febrero de 2025. Lo ideal sería que procures mandar tu solución una vez que tengas la seguridad de que no te equivocaste.

Algunas de las soluciones que mandé quedaron en "bandeja de salida" en vez de "mensajes enviados". ¿Qué significa esto?
Solamente significa que el destinatario aún no leyó el mensaje. No hace falta que lo envíes de nuevo.

¿Cómo es el sistema de corrección?
A la solución de cada problema se le asignará un puntaje entero del 0 al 7.

¿Vale la pena mandar soluciones incompletas?
Si en algún problema lograste obtener resultados parciales, o ideas que creés que sirven mucho pero no sabés cómo terminar el problema, igual podés mandarnos tu solución. Podés rescatar algunos puntos que suman.

¿Qué tengo que hacer para ganar una mención?
Resolver al menos UN problema entero (es decir, obtener los 7 puntos en alguno de los dieciséis problemas).

¿Cuándo me entero de la corrección?
Una vez que termine el período de envío de soluciones, nosotros vamos a avisarte por mensaje privado cuál fue tu puntaje.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis hechas utilizando algún software, como Geogebra.

¿Qué tipo de apuntes puedo usar si es la primera vez que pienso algún tipo de problema específico?
Hay muchos apuntes olímpicos muy útiles. Algunos que recomendamos con los que trabajamos en las COFFEE son los siguientes:
COFFEE sobre Inducción
COFFEE sobre Semejanzas
COFFEE sobre Ecuaciones Funcionales
COFFEE sobre Invariantes

Si resolví pocos problemas ¿vale la pena que mande mis soluciones?
Sí, por supuesto que vale la pena. Por más que hagas un solo problema, mandá lo que tengas, porque podés ganar una mención.

No me inscribí, ¿puedo participar igual?
Sí, podés.

OFO 2025 .pdf

Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de todos los puntos en el plano. Encuentre todas las funciones $f:\mathcal{S}\to \mathbb{R}$ tales que para todo triangulo $ABC$ no degenerado con ortocentro $H$, se cumple que si $f(A)\leq f(B)\leq f(C)$ entonces$$f(A)+f(C)=f(B)+f(H).$$
Aclaración: Un triángulo $ABC$ es no degenerado si sus tres vértices no están alineados.

Una sucesión de $m$ enteros tiene exactamente $n$ elementos distintos. Demostrar que si $2^n<m$ entonces hay un bloque de elementos consecutivos cuyo producto es un cuadrado perfecto.

Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros no negativos. Pepe afirma que conociendo únicamente los valores de $P(2)$ y $P(P(2))$ se puede reconstruir el polinomio $P$. ¿Está en lo correcto?

La ciudad de Rosario tiene un complicado sistema de colectivos que consiste de $n$ paradas y varias rutas entre ellas, cada una de un solo sentido, tal que saliendo de una parada es imposible volver a la misma usando los colectivos de la ciudad. Uri está de visita en la ciudad, invitado por su amigo Mati. Lamentablemente para Mati (y para todos los rosarinos), cada vez que Uri encuentra un colectivo que va de una parada a otra con un menor número, intercambia los números de las paradas, causando caos en la ciudad y un buen dolor de cabeza a Mati. Decidir si este proceso termina (junto con el dolor de cabeza de Mati) o si Uri puede continuarlo infinitamente.

Sean $\Gamma$ y $\Omega$ dos circunferencias tangentes en $A$, con $\Gamma$ interior a $\Omega$. La cuerda $BC$ de $\Omega$ es tangente a $\Gamma$ en $T$. La recta $CA$ corta por segunda vez a $\Gamma$ en el punto $M$, y la recta $AB$ corta por segunda vez a $\Gamma$ en el punto $N$. Sean $M_1$ el simétrico de $M$ respecto de $AT$, $M_2$ el simétrico de $M$ respecto de $BC$, $N_1$ el simétrico de $N$ respecto de $AT$ y $N_2$ el simétrico de $N$ respecto de $BC$. Las rectas $M_1M_2$ y $N_1N_2$ se cortan en $P$. Demostrar que $AP\perp BC$.

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