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Ver último mensaje sin leer Adjunto(s) Arrancó la OFO 2025


¡Terminó la OFO 2025!
¡Ya están abiertos los posts para que subas tus soluciones!


¡Arrancó la OFO 2025!


ACLARACIÓN: En el Problema 15, los valores de las monedas NO son necesariamente enteros.


Para marcar el comienzo de la olimpíada favorita del verano, tenemos un pequeño FAQ para tener en cuenta a la hora de resolver los problemas y mandar las soluciones.

Si tengo una duda de enunciado, ¿dónde pregunto?
Las dudas de enunciado se preguntan respondiendo este post.

¿A dónde tengo que mandar las soluciones?
Por ejemplo, el problema 2 lo publicó el usuario "Ro Neffa". Clickeando el nombre del usuario se accede a su perfil, y allí hay un enlace que dice "Enviar mensaje privado". Al hacer click allí, verás un panel para que escribas tu solución. Una vez que la termines de escribir y revisar, al hacer click en enviar, "Ro Neffa" recibirá tu solución.

¿Cómo puedo escribir fórmulas matemáticas en las soluciones?
El foro tiene un sistema para eso llamado $\LaTeX$, en la guía de $\LaTeX$ se explica cómo usar muchos de los comandos que hay disponibles. No es necesario usarlo, pero recomendamos fuertemente hacerlo.
Si por algún motivo no podés escribir el mensaje de esta forma y necesitás enviar una hoja manuscrita, tenés que hacerlo de la misma forma que en las pruebas olímpicas de la pandemia: Escribí una solución con letra clara y legible, escaneala con alguna aplicación (camscanner por ejemplo) y enviá el PDF generado al jurado correspondiente. Es importante enviar cada solución en un solo archivo PDF.

¿Cómo adjunto un archivo en un mensaje?
Abajo del panel donde estás escribiendo tu solución hay cuatro botones "Cargar borrador", "Guardar borrador", "Vista previa" y "Enviar", luego hay una lista con diferentes opciones para el mensaje, y finalmente un botón que dice "Añadir archivos", que te permite elegir desde tu dispositivo los archivos que quieras agregar al mensaje.

¿Los problemas están ordenados por dificultad?
Aproximadamente sí. Esto es un poco subjetivo, y en general no es cierto que necesariamente el problema $n$ sea más fácil que el $n+1$. Nuestro consejo es arrancar pensando desde los primeros y avanzar hacia los últimos.

¿Cuándo tengo que mandar las soluciones?
Las podés mandar en cualquier momento entre las 00:00 hs del día 31 de enero de 2025 y las 23:59 hs del día 9 de febrero de 2025. Lo ideal sería que procures mandar tu solución una vez que tengas la seguridad de que no te equivocaste.

Algunas de las soluciones que mandé quedaron en "bandeja de salida" en vez de "mensajes enviados". ¿Qué significa esto?
Solamente significa que el destinatario aún no leyó el mensaje. No hace falta que lo envíes de nuevo.

¿Cómo es el sistema de corrección?
A la solución de cada problema se le asignará un puntaje entero del 0 al 7.

¿Vale la pena mandar soluciones incompletas?
Si en algún problema lograste obtener resultados parciales, o ideas que creés que sirven mucho pero no sabés cómo terminar el problema, igual podés mandarnos tu solución. Podés rescatar algunos puntos que suman.

¿Qué tengo que hacer para ganar una mención?
Resolver al menos UN problema entero (es decir, obtener los 7 puntos en alguno de los dieciséis problemas).

¿Cuándo me entero de la corrección?
Una vez que termine el período de envío de soluciones, nosotros vamos a avisarte por mensaje privado cuál fue tu puntaje.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis hechas utilizando algún software, como Geogebra.

¿Qué tipo de apuntes puedo usar si es la primera vez que pienso algún tipo de problema específico?
Hay muchos apuntes olímpicos muy útiles. Algunos que recomendamos con los que trabajamos en las COFFEE son los siguientes:
COFFEE sobre Inducción
COFFEE sobre Semejanzas
COFFEE sobre Ecuaciones Funcionales
COFFEE sobre Invariantes

Si resolví pocos problemas ¿vale la pena que mande mis soluciones?
Sí, por supuesto que vale la pena. Por más que hagas un solo problema, mandá lo que tengas, porque podés ganar una mención.

No me inscribí, ¿puedo participar igual?
Sí, podés.

OFO 2025 .pdf

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una sucesión de enteros positivos y sea $b_1, b_2, b_3, \ldots$ la sucesión de números reales dada por $$b_n = \frac{a_1a_2 \cdots a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}, \text{ para $n \geq 1$}.$$ Demuestre que si entre cada millón de términos consecutivos de la sucesión $b_1,b_2,b_3,\ldots$ existe al menos uno que es entero, entonces existe algún $k$ tal que $b_k > 2021^{2021}$.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Considere un triángulo $ABC$. Sean $D,E$ puntos sobre el segmento $AB$ con $AD=EB=\frac{AB}{3};F,G$ puntos en el segmento $BC$ con $BF=GC=\frac{BC}{3}$ y $H,I$ puntos en el segmento $CA$ con $CH=IA=\frac{CA}{3}$. Sean $\ell _D$ y $\ell _E$ las rectas perpendiculares a $AB$ que pasan por $D$ y $E$ respectivamente y sean $\ell _F$ y $\ell _G$ las rectas perpendiculares a $BC$ que pasan por $F$ y $G$ respectivamente. Por último, sean $\ell _H$ y $\ell _I$ las rectas perpendiculares a $CA$ que pasan por $H$ e $I$ respectivamente. Denotamos $P$ la intersección de $\ell _E$ con $\ell _H$, $Q$ la intersección de $\ell _D$ con $\ell _G$ y $R$ la intersección de $\ell _I$ con $\ell _F$. Demuestre que las rectas $AP,BQ$ y $CR$ son concurrentes.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Hay $2010$ bolitas para guardar en $30$ cajas.
Se quiere que cada caja tenga más de $50$ bolitas y que en cada caja haya un número distinto de bolitas.
¿Cuál es el mayor número de bolitas que se pueden poner en una caja?
Link al tema.


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Inversión


La inversión es una herramienta muy útil en geometría, sobre todo cuando tenemos muchas circunferencias y rectas que nos confunden. Pero primero vamos a definirla:
La inversión es una función de un plano o espacio sin un punto fijo $O$ en sí misma, determinada por una circunferencia $k$, un centro $O$ y un radio $r$, que lleva al punto $A\neq O$ al punto $A'$ sobre la semirrecta $OA$ tal que $OA\cdot OA'=r^2$.
Bueno, esto dicho de manera más simple es que para invertir necesitamos tener 3 cosas: un punto (llamémoslo por comodidad $O$) y un radio (llamémoslo por comodidad $r$), que determinan una circunferencia. Ahora, invertir es llevar a algún punto $A$ en el plano a un punto $A'$ que está sobre la semirrecta $OA$ y que cumple que $OA\cdot OA'=r^2$.

Esto así son definiciones y no parecen tener mucho sentido, pero invertir tiene muchas propiedades muy útiles:
Sean $P$ y $Q$ dos puntos en el plano. Por semejanza es facil observar que $\angle OPQ=\angle OQ'P'$ y que $P'Q'=\frac{r^2}{OP\cdot OQ}PQ$.
Además, se cumple que si invertimos:
  • Una recta que pasa por $O\to$ se invierte sobre sí misma.
  • Una circunferencia que pasa por $O\to$ se invierte a una recta que no pasa por $O$ y es paralela a la tangente de la circunferencia que pasa por $O$.
  • Una recta que no pasa por $O\to$ se invierte a una circunferencia que pasa por $O$ cuya tangente por $O$ es paralela a la recta original.
  • Una circunferencia que no pasa por $O\to$ se invierte a una circunferencia que tampoco pasa por $O$.
Con estas propiedades ya podemos resolver unos cuantos problemas:

Problema 1: (Shortlist IMO 2003) Sean $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ circunferencitas tales que $\omega_1$ y $\omega_3$ son tangentes externamente en $P$ y $\omega_2$ y $\omega_4$ son también tangentes externamente en $P$. Supongamos que $\omega_1$ y $\omega_2$; $\omega_2$ y $\omega_3$; $\omega_3$ y $\omega_4$; $\omega_4$ y $\omega_1$ se cortan en $A$, $B$, $C$ y $D$ respectivamente.
Demostrar que $\frac{AB\cdot BC}{AD \cdot DC}=\frac{PB^2}{PD^2}$.

Solución:
Spoiler: mostrar
Consideremos la inversión con centro $P$ y algún radio $r$. Las circunferencias $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ y $\omega_4$ se invierten en rectas $\omega'_1$, $\omega'_2$, $\omega'_3$, $\omega'_4$ respectivamente y tales que $\omega'_1 \parallel \omega'_3$ y $\omega'_2 \parallel \omega'_4$. Los puntos de intersección de las circunferencias se invierten a los puntos de intersección entre las rectas, entonces $A'B'C'D'$ es un paralelogramo, con $A'B'=C'D'$ y $B'C'=D'A'$.
Ahora por una de las definiciones, sabemos que $A'B'=\frac{r^2}{PA\cdot PB}AB$, entonces $AB=\frac{A'B'\cdot PA\cdot PB}{r^2}$. Análogamente con cada uno de los segmentos $BC$, $CD$ y $DA$ tenemos que:
$\frac{AB\cdot BC}{CD\cdot DA}=\frac{\frac{A'B'\cdot PA\cdot PB\cdot B'C'\cdot PB\cdot PC}{r^4}}{\frac{C'D'\cdot PC\cdot PD\cdot D'A'\cdot PD\cdot PA}{r^4}}=\frac{PB^2}{PD^2}$.
$Q.E.D.$
Como ejercicio, pueden demostrar el teorema de Ptolomeo, que dice así:
En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.

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