OMA Foros

Sean tres cuadrados, $ABCD$, $CEFG$ y $BJEK$. Probar que siempre existen 3 vértices, uno de cada cuadrado, que están alineados

y que además uno de los vértices es punto medio entre los otros dos.

Encontrar todos los enteros positivos $d$ para los cuales existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes reales tal que $P(1),P(2),\ldots ,P(d^2-d)$ son a lo sumo $d$ valores distintos.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de enteros positivos. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que para toda pareja de enteros positivos $(x,y)$ se cumplen las siguientes condiciones:

(i) $x$ y $f(x)$ tienen el mismo número de divisores positivos.
(ii) Si $x$ no divide a $y$ e $y$ no divide a $x$, entonces$$\operatorname{mcd}(f(x),f(y))>f(\operatorname{mcd}(x,y)).$$Aquí $\operatorname{mcd}(m,n)$ es el mayor entero que divide a $m$ y $n$.

Para una sucesión $a_1<a_2<\cdots <a_n$ de enteros, decimos que una pareja $(a_i,a_j)$ con $1\leq i<j\leq n$ es interesante si existe una pareja de enteros $(a_k,a_\ell )$ con $1\leq k<\ell \leq n$ tal que$$\frac{a_\ell -a_k}{a_j-a_i}=2.$$Para cada $n\geq 3$, encontrar el mayor número posible de parejas interesantes en una sucesión de longitud $n$.

Decimos que un entero positivo $n$ es peculiar si, para cualquier divisor positivo $d$ de $n$, el entero $d(d+1)$ divide a $n(n+1)$. Demuestre que para cualesquiera cuatro enteros positivos peculiares distintos $A$, $B$, $C$ y $D$, se cumple lo siguiente:$$\operatorname{mcd}(A,B,C,D)=1.$$
Aquí $\operatorname{mcd}(A,B,C,D)$ es el mayor entero positivo que divide a $A$, $B$, $C$ y $D$.

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Encontrar la alineación de tres vértices.

EGMO 2024 P6

EGMO 2024 P5

EGMO 2024 P4

EGMO 2024 P3