OMA Foros

Problema del día de OMA:
En el diagrama hay que reemplazar cada letra por uno de los números $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ y $10$. Un reemplazo de las diez letras es válido si a letras distintas le corresponden números distintos y además se verifican las siguientes cinco condiciones:$$\begin{align*}
a + b& = f + g \\
b + c &= g + h \\
c + d &= h + i\\
d + e &= i + j \\
e + f &= j + a
\end{align*}$$Determinar cuál es la cantidad de reemplazos válidos que tienen $a=1$.

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Problema del día de Geometría:
Dado un triángulo $ABC$ con incentro $I$, su incírculo es tangente a $BC$ en $D$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el lado $BC$ tales que $\angle PAB=\angle BCA$ y $\angle QAC=\angle ABC$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ los incentros de los triángulos $ABP$ y $ACQ$, respectivamente. Probar que $AD$ es la recta de Euler del triángulo $IKL$.
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Problema del día de Ñandú:
Ana, Bea y Ceci ahorran para irse de excursión.
La semana pasada Ana y Bea ahorraron la misma cantidad y Ceci ahorró $8$ pesos menos que Ana y Bea juntas.
Esta semana, Ana ahorró el doble de lo que había ahorrado la semana pasada, Bea ahorró la mitad de lo que había ahorrado la semana pasada y Ceci ahorró lo mismo que la semana pasada.
Esta semana, entre las tres juntaron $226$ pesos.
¿Cuánto ahorró cada una esta semana?
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