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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
En el diagrama hay que reemplazar cada letra por uno de los números $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ y $10$. Un reemplazo de las diez letras es válido si a letras distintas le corresponden números distintos y además se verifican las siguientes cinco condiciones:$$\begin{align*}
a + b& = f + g \\
b + c &= g + h \\
c + d &= h + i\\
d + e &= i + j \\
e + f &= j + a
\end{align*}$$Determinar cuál es la cantidad de reemplazos válidos que tienen $a=1$.
Imagen
Provincial%202001[1].gif

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Problema del día de Geometría:
Dado un triángulo $ABC$ con incentro $I$, su incírculo es tangente a $BC$ en $D$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el lado $BC$ tales que $\angle PAB=\angle BCA$ y $\angle QAC=\angle ABC$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ los incentros de los triángulos $ABP$ y $ACQ$, respectivamente. Probar que $AD$ es la recta de Euler del triángulo $IKL$.
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Problema del día de Ñandú:
Ana, Bea y Ceci ahorran para irse de excursión.
La semana pasada Ana y Bea ahorraron la misma cantidad y Ceci ahorró $8$ pesos menos que Ana y Bea juntas.
Esta semana, Ana ahorró el doble de lo que había ahorrado la semana pasada, Bea ahorró la mitad de lo que había ahorrado la semana pasada y Ceci ahorró lo mismo que la semana pasada.
Esta semana, entre las tres juntaron $226$ pesos.
¿Cuánto ahorró cada una esta semana?
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Hola me presento


Hola como estan me llamo Amaia es un gusto estar aquí en este hermoso foro, ojala aprendamos mutuamente. Saludos desde Argentina. :)

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OFO 2023 Problema 1


Ian tiene una calculadora muy especial. Esta calculadora permite mostrar tres números en orden y posee un único botón. Al presionar el botón, los números cambian simultáneamente de la siguiente forma:
  • El primer número se reemplaza por la suma del primero y el segundo.
  • El segundo número se reemplaza por la suma del segundo y el tercero.
  • El tercer número se reemplaza por la suma del tercero y el primero.
De este modo, si al principio los números mostrados son $1$, $2$ y $-3$, luego de apretar el botón la pantalla mostrará los números $3$, $-1$ y $-2$.
¿Qué números mostrará la calculadora si se presiona el botón $2023$ veces y al principio los números mostrados son $1$, $2$ y $-3$?

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OFO 2023 Problema 2


En el trapecio $ABCD$ de bases $AD$ y $BC$, las diagonales se cortan en el punto $O$. Se sabe que $AO=CD$, $BC=OD$ y $AC$ es bisectriz de $B\widehat CD$. Hallar los ángulos del triángulo $ACD$.

Aclaración: La bisectriz de un ángulo es la recta que lo parte en dos ángulos iguales.

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OFO 2023 Problema 3


El Dibu tiene $33$ bolitas, numeradas del $1$ al $33$. Después de haber ganado el mundial, su próximo objetivo es lograr repartir todas las bolitas en bolsas con $3$ bolitas cada una, de manera que, en cada bolsa, los números de dos de las bolitas sumen el número de la tercera. ¿Puede el Dibu cumplir su próximo objetivo?

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OFO 2023 Problema 4


Bruno y Nico escribieron varios enteros positivos en un pizarrón. Se sabe que la suma de los números escritos por Bruno es igual a la suma de los números escritos por Nico. Además, el producto de los números escritos en el pizarrón es igual a la cantidad total de números escritos en él.
  • $\text{a)}$ Probar que la cantidad de números escritos en el pizarrón es par.
  • $\text{b)}$ Probar que la cantidad de números escritos en el pizarrón es múltiplo de $4$.

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