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Ver último mensaje sin leer Encuesta: : ¡Concluyó la OFO 2024!


CONCLUYÓ LA OFO 2024
Ya están abiertos los threads de los problemas. Próximamente vamos a publicar las soluciones oficiales allí. Mientras tanto, pueden aprovechar para contar qué hicieron en cada problema, o a qué resultados llegaron.

Ya está disponible la encuesta para votar sus problemas preferidos.

En el transcurso de estos días vamos a mandar por mensaje privado las devoluciones de cada una de sus soluciones, con el correspondiente puntaje.
Además, vamos a estar pidiéndoles algunos datos, en particular su edad y nacionalidad, para poder otorgar los premios especiales como todos los años. Estén atentos.

Los resultados finales de la OFO van a estar pronto. Consultas al respecto háganlas aquí.

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Sea $n$ un entero positivo. Dada una sucesión de números reales no negativos $x_1,\ldots ,x_n$ definimos la sucesión transformada $y_1,\ldots ,y_n$ de la siguiente manera: el término $y_i$ es el mayor valor posible del promedio de términos consecutivos de la sucesión que contengan a $x_i$. Por ejemplo, la sucesión transformada de $2,4,1,4,1$ es $3,4,3,4,5/2$.
Demuestre que
  1. Para todo $t$ real positivo, la cantidad de términos $y_i$ tales que $y_i > t$ es menor o igual que $\frac{2}{t} (x_1+\cdots +x_n)$.
  2. Se verifica la desigualdad $\displaystyle \frac{y_1+\cdots +y_n}{32n}\leq \sqrt{\frac{x_1^2+\cdots +x_n^2}{32n}}$.

Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $\omega$ con centro $O$. Sea $P$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Sea $Q$ be un punto en el segmento $OP$. Sean $E$ y $F$ las proyecciones ortogonales de $Q$ sobre las rectas $AD$ y $BC$, respectivamente. Los puntos $M$ y $N$ se encuentran en la circunferencia circunscrita del triángulo $QEF$ tal que $QM \parallel AC$ y $QN \parallel BD$. Demuestre que las dos rectas $ME$ y $NF$ se intersecan en la mediatriz del segmento $CD$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En la librería, cada lápiz negro cuesta $\$50$ y cada lápiz de color cuesta $\$70$. Andrea compró $18$ lápices y pagó en total $\$1100$.
¿Cuántos lápices negros compró?
Link al tema.


  • Últimos temas

OFO 2024 Problema 1


Fabri escribe una lista con todos los números que satisfacen las siguientes cuatro propiedades:
  • Son pares.
  • Tienen $10$ dígitos.
  • No contienen al dígito $0$.
  • La diferencia entre cada par de dígitos consecutivos es $3$.
Por ejemplo, $1474741414$ está en la lista de Fabri, pero $2585852585$, $1471471414$ y $3636363630$ no.
Calcular la cantidad de números en la lista de Fabri.

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OFO 2024 Problema 2


En el último Nacional de OMA participaron $2024$ personas. Para definir al ganador del certamen, decidieron organizar un partido de fútbol. Al momento de armar los equipos, Jolo enumeró a los participantes del $1$ al $2024$ según su ranking FIFA, y envió a los participantes con ranking impar al equipo $A$, y a los participantes con ranking par al equipo $B$.

Cuando terminó el partido, Martín notó que cada jugador marcó para su equipo una cantidad de goles igual al cuadrado de su ranking, es decir, el jugador $1$ metió $1^2=1$ gol, el jugador $2$ metió $2^2=4$ goles, y así sucesivamente hasta el jugador $2024$, que metió $2024^2=4.096.576$ goles.

Determinar qué equipo fue el ganador y calcular cuál fue la diferencia de goles entre los equipos del partido.

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OFO 2024 Problema 3


Se tiene un cuadrilátero $ABCD$. Se marca un punto $M$ en el lado $AD$ tal que $AM=MD$. Los segmentos $AC$ y $BM$ se cortan en $G$. Se sabe que$$A\widehat BM=50^\circ ,\quad A\widehat DC=60^\circ ,\quad B\widehat GC=70^\circ \quad \text{y}\quad A\widehat MB=80^\circ .$$Determinar la medida del ángulo $B\widehat CA$.

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OFO 2024 Problema 4


Martu tiene una calculadora con una pantalla y un único botón. Al principio, la pantalla muestra el número $1$.
Al apretar el botón, el número de la pantalla se reemplaza por la suma entre ese número y el dígito de sus unidades. Por ejemplo, luego de apretar el botón varias veces, la pantalla mostrará sucesivamente$$1\to 2\to 4\to 8\to 16\to 22\to 24\to\cdots$$
  1. Determinar qué número mostrará la pantalla si Martu presiona el botón $2024$ veces.
  2. Determinar cuántos de los números mostrados por la pantalla fueron múltiplos de $3$.
  3. Demostrar que, sin importar cuántas veces Martu presione el botón, seguirán apareciendo múltiplos de $3$ en la pantalla.

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OFO 2024 Problema 5


Sea $ABCD$ un cuadrado. Sobre el lado $BC$ se construye un triángulo equilátero $BCE$, exterior al cuadrado. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $CD$ y $AE$, respectivamente. Demostrar que $N\widehat MC=60^\circ$.

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