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IMO 2002 - P6


Hay $n>2$ circunferencias de radio $1$ en el plano tales que ninguna recta interseca a más de dos de ellos. Sean $O_1,O_2,\ldots ,O_n$ los centros de las circunferencias. Demostrar que $\sum \limits_{i<j}\frac{1}{O_iO_j}\leqslant (n-1)\frac{\pi}{4}$.

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IMO 2002 - P5


Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$(f(x)+f(y))(f(u)+f(v))=f(xu-yv)+f(xv+yu)$$ para todos $x,y,u,v\in \mathbb{R}$.

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IMO 2002 - P4


Sea $n>1$ un entero, y sean $d_1<d_2<\ldots <d_k$ los divisores positivos de $n$, de forma que $d_1=1$ y $d_k=n$. Sea $d=d_1d_2+d_2d_3+\ldots +d_{k-1}d_k$. Demostrar que $d<n^2$ y hallar todos los $n$ tales que $d$ divide a $n^2$.

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Adjunto(s) IMO 2002 - P2


Sea $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, y sea $BC$ un diámetro de $\Gamma$. El punto $A$ de $\Gamma$ es tal que $\angle AOC>60°$. La cuerda $EF$ de $\Gamma$ es mediatriz del segmento $AO$. Sea $D$ el punto medio del menor arco $AB$ de $\Gam [

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IMO 2002 - P1


$S$ es el conjunto de todos los pares $(h,k)$ con $h,k$ enteros no negativos tales que $h+k<n$. Cada elemento de $S$ se colorea de rojo o azul, de forma que si $(h,k)$ es rojo y $h'\leqslant h$, $k'\leqslant k$, entonces $(h',k')$ también es rojo. [

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