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Rioplatense 2017 - N3 P5


Dado un triángulo $ABC$ con incentro $I$, sean $P$ en $AC$ tal que $PI$ $\bot$ $AC$ y $D$ el punto simétrico de $B$ con respecto al circuncentro del triángulo $ABC$. La recta $DI$ interseca nuevamente a la circunferencia circunscrita del triángulo $A [

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Rioplatense 2017 - N3 P4


¿Existe un número que se pueda escribir como la suma de $2017$ cuadrados de números enteros positivos distintos, de al menos $2017$ maneras distintas?
Aclaración: Dos sumas de cuadrados son la misma si una es un reordenamiento de la otra.

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Adjunto(s) Rioplatense 2017 - N3 P3


Demostrar que existen infinitos pares de números enteros positivos $(m,n)$, con $m<n$, tales que
$m$ divide a $n^{2016}+ \ldots + n + 1$ y $n$ divide a $m^{2016} + \ldots + m + 1$.

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Rioplatense 2017 - N3 P2


Se tienen en el plano $n$ circunferencias distintas del mismo radio tales que entre cualesquiera $k+1$ hay (al menos) dos que se cortan en dos puntos. Demostrar que para toda recta $l$ es posible hallar $k$ rectas, cada una de ellas paralela a $l$, d [

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Rioplatense 2017 - N3 P1


Sea $a$ un entero positivo fijo. Hallar el mayor entero $b$ tal que la igualdad $(x+a)(x+b) = x+a+b$ se satisface para algún entero $x$.

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