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IMO 2001 - P5


En el triángulo $ABC$, sean $P$ el pie de la bisectriz de $\angle BAC$ y $Q$ el pie de la bisectriz de $\angle ABC$. Se sabe que $\angle BAC=60°$ y que $AB+BP=AQ+QB$.

Hallar los posibles valores de los ángulos del triángulo $ABC$.

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IMO 2001 - P4


Sea $n>1$ un entero positivo impar, y sean $k_1,k_2,\ldots ,k_n$ enteros dados. Para cada una de las $n!$ permutaciones $a=(a_1,a_2,\ldots ,a_n)$ de $1,2,\ldots ,n$, sea $$S(a)=\sum \limits_{i=1}^nk_ia_i$$

Demostrar que hay dos permutaciones $b$ y [

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IMO 2001 - P3


$21$ chicos y $21$ chicas participaron en una olimpíada matemática.
  • Cada participante resolvió a lo sumo $6$ problemas.
  • Para cada chico y para cada chica, hubo al menos un problema que fue resuelto por ambos.
Demostrar que hubo al men [

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IMO 2001 - P2


Demostrar que $$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geqslant 1$$ para todos reales positivos $a,b,c$.

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IMO 2001 - P1


Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $P$ el pie de la altura desde $A$. Supongamos que $\angle BCA\geqslant \angle ABC+30°$.

Demostrar que $\angle CAB+\angle COP<90°$.

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