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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8 y 15 + 29 + 1056$ termina en $0$.

Si Betty quiere que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?
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Problema del día de Geometría:
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, sea $I_1$ el incentro del triángulo $ABD$ y sea $I_2$ el incentro del triángulo $BDC$. Se sabe que los cuadriláteros $ABI_2D$ y $CBI_1D$ son cíclicos.

Demostrar que las rectas $AC$, $BD$ e $I_1I_2$ son concurrentes si y sólo si $ABCD$ es un paralelogramo.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Juan tiene tarjetas azules, blancas y rojas. En cada tarjeta hay escrito un número.
En las tarjetas azules están escritos todos los múltiplos de $7$ entre $1$ y $50$.
En las tarjetas blancas están escritos todos los múltiplos de $3$ entre $1$ y $50$.
En las tarjetas rojas están escritos todos los múltiplos de $5$ entre $1$ y $50$.
Juan arma y desarma números poniendo tres tarjetas siempre en el mismo orden: azul – blanca – roja.
¿Cuántos números múltiplos de $3$ puede obtener? Explica cómo los contaste.
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  • Últimos temas

Entrenamiento IMO 2021 - Problema 72


Sea $n\geq 2$ un entero par, y $a, b$ números reales tales que $b^n=3a+1$. Demostrar que el polinomio $P(X)=(X^2+X+1)^n-X^n-a$ es divisible por $Q(X)=X^3+X^2+X+b$ si y sólo si $b=1$.

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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 71


Sean $m, k$ enteros positivos, $k<m$ y $M$ un conjunto de $m$ elementos. Demostrar que el número máximo de subconjuntos $A_1, A_2, ..., A_p$ de $M$ para los cuales $A_i\cap A_j$ tiene a lo sumo $k$ elementos, para todo $1\leq i<j\leq p$, es igual a $$P={m\choose 0}+{m\choose 1}+{m\choose 2}+...+{m\choose k+1}.$$

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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 70


Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$ y $D$ el punto del lado $AC$ tal que $BD$ es la bisectriz de $A\widehat{B}C$. Demostrar que $BC-BD=2AB$ si y sólo si $\frac{1}{BD}-\frac{1}{BC}=\frac{1}{2AB}$.

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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 69


Sea $n$ un entero positivo y $f(X)=a_0+a_1X+...+a_mX^m$ con $m\geq 2$ un polinomio de

coeficientes enteros, tal que:

(1) $a_2,a_3,...,a_m$ son divisibles por todos los factores primos de $n$.

(2) $a_1$ y $n$ son coprimos.

Demostrar que para todo entero positivo $k$ existe un entero positivo $c$ tal que $f(c)$ es divisible por $n^k$.

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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 68


Sean $a$ y $b$ números complejos no nulos y $z_1, z_2$ las raíces del polinomio $X^2+aX+b$. Demostrar que $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ si y sólo si existe un número real $\lambda\geq 4$ tal que $a^2=\lambda b$.

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