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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8 y 15 + 29 + 1056$ termina en $0$.

Si Betty quiere que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, sea $I_1$ el incentro del triángulo $ABD$ y sea $I_2$ el incentro del triángulo $BDC$. Se sabe que los cuadriláteros $ABI_2D$ y $CBI_1D$ son cíclicos.

Demostrar que las rectas $AC$, $BD$ e $I_1I_2$ son concurrentes si y sólo si $ABCD$ es un paralelogramo.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Juan tiene tarjetas azules, blancas y rojas. En cada tarjeta hay escrito un número.
En las tarjetas azules están escritos todos los múltiplos de $7$ entre $1$ y $50$.
En las tarjetas blancas están escritos todos los múltiplos de $3$ entre $1$ y $50$.
En las tarjetas rojas están escritos todos los múltiplos de $5$ entre $1$ y $50$.
Juan arma y desarma números poniendo tres tarjetas siempre en el mismo orden: azul – blanca – roja.
¿Cuántos números múltiplos de $3$ puede obtener? Explica cómo los contaste.
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Pequeño Teorema de Fermat (Fermatito)


Pequeño Teorema de Fermat:
Si [math] es primo y [math] es un entero entonces [math]. En otras palabras, [math] es múltiplo de [math].

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