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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8 y 15 + 29 + 1056$ termina en $0$.

Si Betty quiere que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, sea $I_1$ el incentro del triángulo $ABD$ y sea $I_2$ el incentro del triángulo $BDC$. Se sabe que los cuadriláteros $ABI_2D$ y $CBI_1D$ son cíclicos.

Demostrar que las rectas $AC$, $BD$ e $I_1I_2$ son concurrentes si y sólo si $ABCD$ es un paralelogramo.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Juan tiene tarjetas azules, blancas y rojas. En cada tarjeta hay escrito un número.
En las tarjetas azules están escritos todos los múltiplos de $7$ entre $1$ y $50$.
En las tarjetas blancas están escritos todos los múltiplos de $3$ entre $1$ y $50$.
En las tarjetas rojas están escritos todos los múltiplos de $5$ entre $1$ y $50$.
Juan arma y desarma números poniendo tres tarjetas siempre en el mismo orden: azul – blanca – roja.
¿Cuántos números múltiplos de $3$ puede obtener? Explica cómo los contaste.
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  • Últimos temas

Entrenamiento IMO 2021 - Problema 67


Sea $A$ el conjunto de los números reales que verifican:

i) $1\in A$;

ii) $x\in A\Rightarrow x^2\in A$;

iii) $x^2-4x+4\in A\Rightarrow x\in A$.

Demostrar que $2000+\sqrt{2001}\in A$.

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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 66


En un sistema de coordenadas, consideramos las rectas de ecuaciones: $$d_1:2x-y-2=0,d_2:x+y-4=0,d_3:y=2,d_4:x-4y+3=0.$$ Hallar los vértices del triángulo que tiene medianas $d_1, d_2, d_3$, y una de sus alturas es $d_4$.

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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 65


Tres colegios tienen $200$ alumnos cada uno. Cada alumno tiene al menos un amigo en cada colegio (si el alumno $a$ es amigo del alumno $b$ entonces $b$ es amigo de $a$). Se sabe que existe un conjunto $E$ de $300$ alumnos (entre los $600$) tales que para cada colegio $C$ y para todo par de alumnos $x,y\in E$ que no son del colegio $C$, el número de amigos de $x$ que van al colegio $C$ es distinto del número de amigos de $y$ que van al colegio $C$. Demostrar que se puede hallar un alumno en cada colegio que sea amigo de cada uno de los otros.

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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 64


Demostrar que no existen números enteros $a$ y $b$ tales que $a^3+a^2b+ab^2+b^3=2001$

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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 63


Sean $a$ y $b$ números reales, positivos y distintos. Consideramos el conjunto $$M=\{ax+by|x,y\in\mathbb{R},x>0,y>0,x+y=1\}.$$ Demostrar que

i) $\frac{2ab}{a+b}\in M$;

ii) $\sqrt{ab}\in M$.

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