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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8 y 15 + 29 + 1056$ termina en $0$.

Si Betty quiere que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?
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Problema del día de Geometría:
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, sea $I_1$ el incentro del triángulo $ABD$ y sea $I_2$ el incentro del triángulo $BDC$. Se sabe que los cuadriláteros $ABI_2D$ y $CBI_1D$ son cíclicos.

Demostrar que las rectas $AC$, $BD$ e $I_1I_2$ son concurrentes si y sólo si $ABCD$ es un paralelogramo.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Juan tiene tarjetas azules, blancas y rojas. En cada tarjeta hay escrito un número.
En las tarjetas azules están escritos todos los múltiplos de $7$ entre $1$ y $50$.
En las tarjetas blancas están escritos todos los múltiplos de $3$ entre $1$ y $50$.
En las tarjetas rojas están escritos todos los múltiplos de $5$ entre $1$ y $50$.
Juan arma y desarma números poniendo tres tarjetas siempre en el mismo orden: azul – blanca – roja.
¿Cuántos números múltiplos de $3$ puede obtener? Explica cómo los contaste.
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  • Últimos temas

Selectivo Ibero 2021 - Problema 1


En un tablero de ajedrez de $n$ x $n$, con $n\geq2$, un rey puede hacer dos tipos de
movimientos: en el tipo A se mueve a una casilla vecina con la que tiene un lado común;
en el tipo B se mueve a una casilla vecina en diagonal, con la que tiene un vértice común.
Hallar todos los valores de $n$ para los que es posible colocar al rey en alguna casilla del tablero
y a continuación realizar alternadamente movimientos de tipo $A$ y de tipo $B$, comenzando por uno de tipo $B$,
de modo que el rey recorra todas las casillas del tablero pasando exactamente una vez por cada una.

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Regional 2021 - N3 P3


En el triángulo $ABC$, sean $D$ el punto medio del lado $AB$ y $E$ en el lado $BC$ tal que $2EC=BE$. Además, $A\hat DC=B\hat AE$. Calcular la medida del ángulo $B\hat AC$.

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Regional 2021 - N3 P2


Hallar todos los enteros $x$ e $y$ tales que $2x+3y=221$ y $x+y<x\cdot y$.

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Regional 2021 - N3 P1


Determinar la cantidad de números enteros positivos de tres dígitos no necesariamente distintos, con el dígito de las centenas diferente de cero y tales que la multiplicación de sus tres dígitos sea menor que la suma de sus tres dígitos.

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Regional 2021 - N1 P3


En el rectángulo $ABCD$, sean $P$ en el lado $AB$ y $Q$ en el lado $AD$ tales que $PC$ es la bisectriz de $B\hat PQ$ y $QC$ es la bisectriz de $D\hat QP$. Calcular la medida del ángulo $P\hat CQ$.

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