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- Problema del día
Problema del día de OMA:
Un conjunto finito de enteros positivos se llama aislado si la suma de los elementos de todo subconjunto propio es un número relativamente primo con la suma de los elementos del conjunto. Hallar todos los enteros compuestos $n$ para los cuales existen enteros positivos $a,b$ tales que el conjunto $A=\lbrace (a+b)^2, (a+2b)^2,...,(a+nb)^2\rbrace$ es aislado
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Problema del día de Geometría:
Un recipiente cerrado con forma de paralelepípedo rectángulo contiene $1$ litro de agua. Si el recipiente se apoya horizontalmente sobre tres caras distintas, el nivel del agua es de $2\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ y $5\text{ cm}$. Calcula el volumen del paralelepípedo.
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Problema del día de Ñandú:
Andy, Bibi, Dani y Emi van juntos a una excursión.
Entre Andy y Bibi pagan el gasto de transporte.
Entre Dani y Emi pagan los $4$ almuerzos.
Andy, Bibi y Dani comen el menú clásico; Emi come el menú liviano.
El menú liviano cuesta $\$20$ más que el menú clásico.
Andy paga $\frac{2}{5}$ del gasto en transporte.
Dani paga la mitad de gasto en almuerzos.
Bibi paga $\$156$ y Emi paga $\$180$.
¿Cuál es el gasto en transporte?
¿Cuánto cuesta un menú clásico?
¿Cuánto cuesta un menú liviano?
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Encontrar la alineación de tres vértices.
- Publicado por: ricarlos » Mar 16 Abr, 2024 7:04 pm
- Foro: Geometría
Sean tres cuadrados, $ABCD$, $CEFG$ y $BJEK$. Probar que siempre existen 3 vértices, uno de cada cuadrado, que están alineados
y que además uno de los vértices es punto medio entre los otros dos.
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EGMO 2024 P6
- Publicado por: BR1 » Dom 14 Abr, 2024 1:53 pm
- Foro: Algebra
Encontrar todos los enteros positivos $d$ para los cuales existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes reales tal que $P(1),P(2),\ldots ,P(d^2-d)$ son a lo sumo $d$ valores distintos.
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EGMO 2024 P5
- Publicado por: BR1 » Dom 14 Abr, 2024 1:41 pm
- Foro: Teoría de Numeros
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de enteros positivos. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que para toda pareja de enteros positivos $(x,y)$ se cumplen las siguientes condiciones:
(i) $x$ y $f(x)$ tienen el mismo número de divisores positivos.
(ii) Si $x$ no divide a $y$ e $y$ no divide a $x$, entonces$$\operatorname{mcd}(f(x),f(y))>f(\operatorname{mcd}(x,y)).$$Aquí $\operatorname{mcd}(m,n)$ es el mayor entero que divide a $m$ y $n$.
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EGMO 2024 P4
- Publicado por: BR1 » Dom 14 Abr, 2024 1:35 pm
- Foro: Algebra
Para una sucesión $a_1<a_2<\cdots <a_n$ de enteros, decimos que una pareja $(a_i,a_j)$ con $1\leq i<j\leq n$ es interesante si existe una pareja de enteros $(a_k,a_\ell )$ con $1\leq k<\ell \leq n$ tal que$$\frac{a_\ell -a_k}{a_j-a_i}=2.$$Para cada $n\geq 3$, encontrar el mayor número posible de parejas interesantes en una sucesión de longitud $n$.
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EGMO 2024 P3
- Publicado por: BR1 » Sab 13 Abr, 2024 2:30 pm
- Foro: Teoría de Numeros
Decimos que un entero positivo $n$ es peculiar si, para cualquier divisor positivo $d$ de $n$, el entero $d(d+1)$ divide a $n(n+1)$. Demuestre que para cualesquiera cuatro enteros positivos peculiares distintos $A$, $B$, $C$ y $D$, se cumple lo siguiente:$$\operatorname{mcd}(A,B,C,D)=1.$$
Aquí $\operatorname{mcd}(A,B,C,D)$ es el mayor entero positivo que divide a $A$, $B$, $C$ y $D$.
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