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Resultados FOFO de Pascua 2024

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios.

En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para los primeros 7 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron al menos 47 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 8 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 33 y 46 puntos), una Medalla Especial, y para los siguientes 8 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 24 y 32 puntos), una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{Samir.Ochoa} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{Emiliano Sosa} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{Ignacio Daniele} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{Tob.Rod} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{6} & \text{drynshock} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{jazzzg} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{8} & \text{Majamar} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{BR1} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{Fedee} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{4lbahaca} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{Kechi} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{Jordan.v} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{marcoalonzo} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{15} & \text{lola.m} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{16} & \text{magnus} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{17} & \text{Angel.C} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{17} & \text{IPM-Tomas-Chame} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{17} & \text{jesusmtp} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{20} & \text{florsa06} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{20} & \text{Micaaa} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{22} & \text{Meli.} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{22} & \text{Sol Sandleris} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicidades a todos!

Sea $ABC$ un triángulo con $AC>AB$, y denotamos su circunferencia circunscrita por $\Omega$ y su incentro por $I$. Sean $D,E,F$ los puntos de intersección de la circunferencia inscrita con los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. Sean $X$ e $Y$ dos puntos en los arcos más cortos $\overparen{DF}$ y $\overparen{DE}$ de la circunferencia inscrita, respectivamente, tales que $B\widehat XD=D\widehat YC$. Las rectas $XY$ y $BC$ se intersecan en $K$. Sea $T$ el punto en $\Omega$ tal que $KT$ es tangente a $Ω$ y $T$ está en el mismo lado de la recta $BC$ que $A$. Demuestre que las rectas $TD$ y $AI$ se intersecan en $\Omega$.

Dos enteros distintos $u$ y $v$ están escritos en la pizarra. Realizamos una serie de pasos. En cada paso hacemos una de las siguientes acciones:

$(i)$ Si $a$ y $b$ son enteros distintos en la pizarra, entonces podemos escribir $a+b$ en la pizarra, si no está ya escrito.

$(ii)$ Si $a$, $b$ y $c$ son tres enteros distintos en la pizarra, y $x$ es un entero que satisface $ax^2+bx+c=0$, entonces podemos escribir $x$ en la pizarra, si no está ya escrito.

Determine todas las parejas iniciales de números $(u,v)$ para las cuales cualquier entero se puede escribir en la pizarra después de un número finito de pasos.

Se tienen $1001$ tarjetas con los números $1,2,3,\ldots ,1001$ escritos en azul (un número por tarjeta). Ana distribuye las tarjetas boca abajo alrededor de una circunferencia. A continuación, para cada tarjeta $C$, Ana considera las $500$ tarjetas que siguen a $C$ en el sentido de las agujas del reloj y cuenta cuántas de estas tarjetas tienen el número azul mayor que el número azul de $C$ y escribe ese número en el lado blanco de $C$ con color rojo. Beto ve los números rojos y sabe su significado, pero no ve ningún número azul. Demostrar que Beto puede deducir qué número azul tiene cada tarjeta.

Consideramos la sucesión infinita de números enteros positivos $a_n$ que para cada $n\geq 3$ satisface$$a_n=a_1\cdot a_2+a_2\cdot a_3+\cdots +a_{n-2}\cdot a_{n-1}-1.$$a) Demostrar que hay al menos un número primo que es un divisor de infinitos términos de esta sucesión.

b) Demostrar que hay infinitos números primos tales que cada uno de ellos es un divisor de infinitos términos de esta sucesión.

Dados $2024$ números reales no negativos $x_1,x_2,\ldots ,x_{2024}$ que satisfacen $x_1+x_2+\cdots +x_{2024}=1$, hallar el máximo número posible de pares ordenados $(i,j)$ que satisfacen$$x_i^2+x_j\geq \frac{1}{2023}.$$

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