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Olimpiada de Mayo 2018 nivel 2 problema 5


Cada punto de una circunferencia esta coloreado con uno de $10$ colores.¿Es cierto que para cualquier coloracion hay $4$ puntos del mismo color que son vertices de un cuadrilatero con dos lados paralelos (un trapecio isoceles o un rectangulo)?

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Adjunto(s) ONEM 2018 - Fase 2 - Nivel 3 - P10


En la figura se muestra una recta $\mathcal{L}$ y dos puntos $P$ y $Q$ a un mismo lado de ella. Las distancias
de $P$ y $Q$ a $\mathcal{L}$ son 3 cm y 5 cm, respectivamente. La distancia entre los pies de las proyecciones
de $P$ y $Q$ sobre $\mathcal{ [

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ONEM 2018 - Fase 2 - Nivel 3 - P8


Sean $x$ y $y$ números reales positivos tales que $x \neq y$ y además:

$$\frac 1{1 + x^2} +\frac 1{1 + y^2} =\frac 2{1 + xy}.$$

Determine el menor valor posible de $(1 + 2x^2)(1 + 18y^2)$.

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Adjunto(s) ONEM 2018 - Fase 2 - Nivel 3 - P7


Se escogen al azar dos caras distintas de un icosaedro regular (que tiene 20 caras que son
triángulos equiláteros). Sea $p$ la probabilidad de que dichas caras sean disjuntas, es decir, que
no compartan un vértice o una arista. Calcule el valor de $\fr [

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ONEM 2018 - Fase 2 - Nivel 2 - P10


Determine cuántos enteros positivos $ a $ cumplen que $a \leq 8575$ y además:

$mcd(a; 8575) = mcd(a + 1; 8575) = 1$.

Aclaración: $mcd(r; s)$ denota al máximo común divisor de los enteros positivos $r$ y $s$.

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