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Ver último mensaje sin leer Adjunto(s) Arrancó el OFO 2019!


Arrancó el OFO 2019!

Para marcar el comienzo de la olimpíada favorita del verano, tenemos un pequeño FAQ para tener en cuenta a la hora de resolver los problemas y mandar las soluciones.

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IMO 2001 - P4


Sea $n>1$ un entero positivo impar, y sean $k_1,k_2,\ldots ,k_n$ enteros dados. Para cada una de las $n!$ permutaciones $a=(a_1,a_2,\ldots ,a_n)$ de $1,2,\ldots ,n$, sea $$S(a)=\sum \limits_{i=1}^nk_ia_i$$

Demostrar que hay dos permutaciones $b$ y [

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IMO 2001 - P3


$21$ chicos y $21$ chicas participaron en una olimpíada matemática.
  • Cada participante resolvió a lo sumo $6$ problemas.
  • Para cada chico y para cada chica, hubo al menos un problema que fue resuelto por ambos.
Demostrar que hubo al men [

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IMO 2001 - P2


Demostrar que $$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geqslant 1$$ para todos reales positivos $a,b,c$.

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IMO 2001 - P1


Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $P$ el pie de la altura desde $A$. Supongamos que $\angle BCA\geqslant \angle ABC+30°$.

Demostrar que $\angle CAB+\angle COP<90°$.

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IMO 2002 - P6


Hay $n>2$ circunferencias de radio $1$ en el plano tales que ninguna recta interseca a más de dos de ellos. Sean $O_1,O_2,\ldots ,O_n$ los centros de las circunferencias. Demostrar que $\sum \limits_{i<j}\frac{1}{O_iO_j}\leqslant (n-1)\frac{\pi}{4}$.

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