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ONEM 2017 - Fase 2 - Nivel 2 - P9


Sea $M$ el mayor número real tal que la desigualdad:



$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ca+M(a-b)^{2}$$

se cumple para todos los números reales $a$, $b$ y $c$. Calcule el valor de $120M$.

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ONEM 2017 - Fase 2 - Nivel 1 - P8


Decimos que dos enteros positivos son amigos si su diferencia es un divisor de su suma. Por ejemplo, los números $3$ y $5$ son amigos porque $2$ es un divisor de $8$.

Se tiene cuatro enteros positivos tales que cualesquiera dos de ellos son ami [

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ONEM 2017 - Fase 1 - Nivel 3 - P20


Determine cuántos números de seis dígitos cumplen que cada dígito pertenece al conjunto $\left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \}$ (está permitido repetir dígitos) y además la suma de cualesquiera dos dígitos adyacentes es múltiplo de $2$ o de $3$.

Nota [

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Divisores de un número


¿Cuál es el número entero positivo más pequeño con $12$ divisores pares (positivos) y $6$ divisores impares (positivos)?

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Intersección


Tres circunferencias de radio $1$ son tangentes externamente una a otra. ¿Cuál es el área de la región interior que delimitan?

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