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IMO 2003 - P6


Sea $p$ un número primo. Demostrar que existe un número primo $q$ tal que, para todo entero $n$, el número $n^p-p$ no es divisible por $q$.

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IMO 2003 - P5


Sea $n$ un entero positivo y $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ números reales tales que $x_1\leqslant x_2\leqslant \ldots \leqslant x_n$.
(a) Demostrar que $$\left (\sum \limits _{i=1}^n\sum \limits _{j=1}^n|x_i-x_j|\right )^2\leqslant \frac{2(n^2-1)}{3}\s [

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IMO 2003 - P4


Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyos vértices están sobre una circunferencia. Sean $P$, $Q$ y $R$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $D$ a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente. Demostrar que $PQ=QR$ si y sólo si las bisectrice [

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IMO 2003 - P3


Consideremos un hexágono convexo tal que para cualesquiera dos lados opuestos se verifica la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ multiplicado por la suma de sus longitudes.
Demostr [

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IMO 2003 - P2


Determinar todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que $$\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$$ es un entero positivo.

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