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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8 y 15 + 29 + 1056$ termina en $0$.

Si Betty quiere que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Determinar si hay un tetraedro que se pueda cortar con un plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado menor o igual que $1$, y también cortar por otro plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado mayor o igual que $100$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En las casillas de un tablero de $123$ filas y $123$ columnas se escriben los números $2,0,1,6$ del siguiente modo:$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & \cdots \\
\hline
0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & \cdots \\
\hline
1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & \cdots \\
\hline
6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & \cdots \\
\hline
2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & \cdots \\
\hline
0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & \cdots \\
\hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\hline
\end{array}$$a) ¿Qué número se escribió más veces? Explica por qué.
b) ¿Cuál es la suma de todos los números escritos en el tablero?
Link al tema.


  • Últimos temas

Conjugados Ciclocevianos


Dado un triángulo $ABC $ y un punto $D $ en el plano, sean los puntos

$E = AB \cap CD $

$F = AC \cap BD $

$G = BC \cap AD $

y $\mathcal {C}$ la circunferencia que pasa por $E, F, G $



Defino lo os siguientes puntos:

$H = AB \cap \mathcal {C} $

$I = AC \cap \mathcal {C} $

$J = BC \cap \mathcal {C} $



Entonces las rectas $CH, BI, AJ$ son concurrentes.

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Recta de Newton


dado el cuadrilátero $ABCD $ sean
$E = AB \cap CD $
$F = AD \cap BC $
para formar el cuadrilátero completo. (Ver imagen)
Spoiler: mostrar
Screenshot_2021-04-08-23-23-07-1.png
Sean $G, H, I, J $ los puntos medios de los lados $AB, BC, CD, DA $ respectivamente y $K = GI \cap HJ $

Por último sean $L, M, N $ los puntos medios de las diagonales $AC, BD, EF $


Dados estos puntos definidos así, se cumple que $K, L, M, N$ son colineales y además $K $ es punto medio de $ML $




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Línea de Newton
Línea de Newton-Gauss
Teorema de Anne

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Circunferencias y concurrencias


Sea $ABC $ un triángulo con incírculo $\Gamma_1$ y circuncírculo $\Gamma_2$.

Sea $D $ un punto en $\Gamma_2$, se traza una tangente por $D $ a $\Gamma_1$ que corta a $\Gamma_2$ en el punto $E $.

Las otras tangentes a $\Gamma_1$ por $D $ y $E $ se cortan en $F $.



Probar que $F \in \Gamma_2$

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Irán 1995


Sean $M, N, P$ los puntos de intersección del incírculo del triángulo $ABC$ con los lados $AB, BC, CA $ respectivamente.



Probar que el ortocentro del triángulo $MNP $, el incentro de $ABC $ y el circuncentro de $ABC $ son colineales.

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Trisección de un segmento


Sea $\Gamma$ una semicircunferencia de diámetro $AB $ y centro $O $, sea $C \in \Gamma / AC = BC $. Sea $D $ un punto en la semirrecta $OC / AC = OD $

$E = \Gamma \cap AD $

$F$ es la proyección de $E $ sobre $AB$



Probar que $BF = 2AF $

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