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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8 y 15 + 29 + 1056$ termina en $0$.

Si Betty quiere que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Determinar si hay un tetraedro que se pueda cortar con un plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado menor o igual que $1$, y también cortar por otro plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado mayor o igual que $100$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En las casillas de un tablero de $123$ filas y $123$ columnas se escriben los números $2,0,1,6$ del siguiente modo:$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & \cdots \\
\hline
0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & \cdots \\
\hline
1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & \cdots \\
\hline
6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & \cdots \\
\hline
2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & \cdots \\
\hline
0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & \cdots \\
\hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\hline
\end{array}$$a) ¿Qué número se escribió más veces? Explica por qué.
b) ¿Cuál es la suma de todos los números escritos en el tablero?
Link al tema.


  • Últimos temas

Geometría proyectiva y perspectiva cónica


Si $A$ y $B$ son dos puntos fijos sobre una cónica y $X$ es un punto variable sobre la misma, hallar el lugar geométrico descrito por el ortocentro del triángulo $ABX$. 

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Inscribir por fuera de la escuela


Hola,



Quería saber si existe la posibilidad de inscribir a un participante para las olimpíadas ñandu por fuera de la escuela cuando la misma no participa de la competencia.



Gracias.

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altura y mediana isogonales


En el triangulo $ABC $ se sabe que $AB \ne AC $, sea H el pie de altura trazado desde A y M el punto medio de BC.

La bisectriz de $C\hat {A}B $ intersecta a BC en P.

Hallar la medida de los angulos de $ABC $ si

$C\hat {A}H = H\hat {A}P = P\hat {A}M = M\hat {A}B$











Ahora creo que si

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Muchos incentros


Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y convexo. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en el punto $E$, las semirrectas $DA$ y $CB$ se cortan en el punto $F$. Sean $I_1$ el incentro de $ABE$, $I_2$ el incentro de $ABF$, $J_1$ el incentro de $CDE$, y $J_2$ el incentro de $CDF$. Demostrar que las rectas $I_1I_2$ y $J_1J_2$ se cortan sobre el circuncírculo de $ABCD$.

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Rectángulos de diagonal PQ


Sea $S$ un conjunto de $2021$ puntos en el plano cartesiano, tal que no hay dos de ellos que tengan una coordenada en común. Para cualesquiera dos puntoo $P,Q\in S$ se considera el rectángulo de diagonal $PQ$ y lados paralelos a los ejes. Llamamos $M_{PQ}$ a la cantidad de puntos de $S$ que se ubican en el interior de este rectángulo. Determinar el mayor entero $N$ tal que sin importar cómo estén distribuidos los puntos de $S$, existen puntos $P,Q\in S$ tales que $M_{PQ}\geq N$.

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