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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8 y 15 + 29 + 1056$ termina en $0$.

Si Betty quiere que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Determinar si hay un tetraedro que se pueda cortar con un plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado menor o igual que $1$, y también cortar por otro plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado mayor o igual que $100$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En las casillas de un tablero de $123$ filas y $123$ columnas se escriben los números $2,0,1,6$ del siguiente modo:$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & \cdots \\
\hline
0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & \cdots \\
\hline
1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & \cdots \\
\hline
6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & \cdots \\
\hline
2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & \cdots \\
\hline
0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & \cdots \\
\hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\hline
\end{array}$$a) ¿Qué número se escribió más veces? Explica por qué.
b) ¿Cuál es la suma de todos los números escritos en el tablero?
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  • Últimos temas

2 buenos en 4 consecutivos


Decimos que un entero positivo $n$ es bueno si tiene una cantidad impar de divisores primos distintos. Por ejemplo, $2020$ es bueno, pues sus divisores primos son $2$, $5$ y $101$. Demostrar que existen infinitos $n$ tales que en el conjunto $\{n,n+1,n+2,n+3\}$ hay exactamente dos números buenos.

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Función vale 1 en una cantidad finita de puntos


Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ que satisfacen las siguientes condiciones:
  • $f(x+f(y))=f(x)f(y)$ para todos $x,y>0$;
  • hay una cantidad finita de valores de $x$ para los cuales $f(x)=1$.

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Ángulos rectos y puntos medios


Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $B\widehat AD=90^\circ$, y sean $M$ el punto medio del lado $BC$ y $N$ el punto medio del lado $CD$. Si $B\widehat AM=M\widehat AN=N\widehat AD$, demostrar que $B\widehat CD=60^\circ$.

Aclaración: Un cuadrilátero es convexo cuando todos sus ángulos miden menos de $180^\circ$.

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No hay 2 que sumen Fibonacci


Decidir si es posible colorear a cada entero positivo de amarillo o negro de modo que no haya dos números del mismo color cuya suma sea un número de Fibonacci.

Aclaración: Los números de Fibonacci se definen como $F_1=1$, $F_2=1$ y $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ para $n\geq 1$. Por ejemplo, los $7$ primeros números de Fibonacci son $1,1,2,3,5,8,13$.

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Cuadrilatero equilico


En la siguiente figura, ABCD es un cuadrilátero tal que $A\hat {B}D + C\hat {D}B = 120$ y $AB=CD $. Si AB se encuentra con DC en M, los triángulos equiláteros AKC, BJC y BLD se alejan de AD, y E y G son el punto medio de las diagonales AC y BD, demuestre que:
* K, M, J y L son colineales
*J es el punto medio de KL
*EG y KL son líneas paralelas.
Spoiler: mostrar
equilic_quadrilateral_05-1.png

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