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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8 y 15 + 29 + 1056$ termina en $0$.

Si Betty quiere que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Determinar si hay un tetraedro que se pueda cortar con un plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado menor o igual que $1$, y también cortar por otro plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado mayor o igual que $100$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En las casillas de un tablero de $123$ filas y $123$ columnas se escriben los números $2,0,1,6$ del siguiente modo:$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & \cdots \\
\hline
0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & \cdots \\
\hline
1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & \cdots \\
\hline
6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & \cdots \\
\hline
2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & \cdots \\
\hline
0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & \cdots \\
\hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\hline
\end{array}$$a) ¿Qué número se escribió más veces? Explica por qué.
b) ¿Cuál es la suma de todos los números escritos en el tablero?
Link al tema.


  • Últimos temas

TST China 2021, prueba 4, día 1, problema 2


Sea $ABC$ un triángulo de incentro $I$ y $\Gamma$ la circunferencia circunscrita a éste.

$D$ es un punto sobre $\Gamma$ tal que $AD\parallel BC$, $E$ es el punto de tangencia del $A$-excírculo con $BC$ y $F$ un punto interior al triángulo $ABC$ tal que $IF\parallel BC$ y $B\hat{A}F=E\hat {A}C$.

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $\stackrel{\textstyle\frown}{BAC}$ y $\stackrel{\textstyle\frown}{BC}$ respectivamente ($N$ en el semiplano de borde $BC$ que no contiene ni a $A$ ni a $M$).

$G=NF\cap \Gamma$

$L=AG\cap IF$

$K=AF\cap DI$



Probar que $NK\perp ML$.

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Ecuaciones funcionales discretas


Buenas, dejo el apunte que escribimos con @lucasdeamorin y @Matías V5 sobre Ecuaciones Funcionales Discretas (aquellas que tienen como dominio los naturales o los enteros), este tipo de problemas aparece en Selectivos de IMO e Ibero y en muchas competencias internacionales.
Para poder aprovechar al máximo este apunte, recomendamos fuertemente que el lector se encuentre ya familiarizado con el concepto de ecuaciones funcionales y con ciertas ideas típicas utilizadas para resolverlas. Para ello, lo mejor es haber leído previamente el siguiente apunte. Es importante destacar que muchas de estas técnicas seguirán siendo muy útiles a la hora de resolver ecuaciones funcionales discretas; la inyectividad, la sobreyectividad, el trabajo con desigualdades y los reemplazos clásicos son algunos ejemplos de esto. Por otro lado, la restricción a los elementos enteros nos abre las puertas para poder aplicar argumentos de divisibilidad, congruencias, elementos mínimos y da lugar a una herramienta muy fuerte: la inducción.
¡Esperamos que lo disfruten! Cualquier duda o comentario al respecto del apunte escríbanlo acá.

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Segundo Pretorneo de Ciudades-Nivel Juvenil-P4 2018


Sean $K$ un punto de la hipotenusa $AB$ de un triángulo rectángulo $ABC$, y $L$ un punto del cateto $AC$ tal que $AK=AC$ y $BK=LC$. Sea $M$ el punto de intersección de los segmentos $BL$ y $CK$. Demostrar que el triángulo $CLM$ es isósceles.

6 PUNTOS

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Segundo Pretorneo de Ciudades-Nivel Juvenil-P3 2018


Tres números enteros positivos son tales que cada uno de ellos es divisible por el máximo común divisor de los otros dos números, y el mínimo común múltiplo de cada par de números es divisible por el tercero. Determinar si esto implica que los tres números son necesariamente iguales.



5 PUNTOS

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Cuaterna escondida


Sea $P $ un punto exterior a una circunferencia $\mathcal {C}$. Desde $P $ se trazan 2 rectas secantes $r $ y $s$ a $\mathcal {C}$ tales que quedan los siguientes puntos:
$X,Y = r \cap \mathcal {C} $ ; $W,Z = s \cap \mathcal {C}$
Sean los puntos: $A = XW \cap YZ $ ; $C = XZ \cap WY $ y sean $B $ y $D $ los puntos en $\mathcal {C}$ tales que $BP $ y $DP $ son tangentes a $\mathcal {C} $

El problema pide probar que éstos 4 puntos forman una cuaterna armónica

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