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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8 y 15 + 29 + 1056$ termina en $0$.

Si Betty quiere que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Determinar si hay un tetraedro que se pueda cortar con un plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado menor o igual que $1$, y también cortar por otro plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado mayor o igual que $100$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En las casillas de un tablero de $123$ filas y $123$ columnas se escriben los números $2,0,1,6$ del siguiente modo:$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & \cdots \\
\hline
0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & \cdots \\
\hline
1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & \cdots \\
\hline
6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & \cdots \\
\hline
2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & \cdots \\
\hline
0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & 0 & 1 & 6 & 2 & \cdots \\
\hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\hline
\end{array}$$a) ¿Qué número se escribió más veces? Explica por qué.
b) ¿Cuál es la suma de todos los números escritos en el tablero?
Link al tema.


  • Últimos temas

Tangencias y colinealidad


Sean $P $ y $Q $ dos puntos exteriores a la circunferencia $\Gamma $ y se trazan las tangentes $PA, PB, QC, QD $, y los puntos $R = AD \cap BC $ y $S = AC \cap BD $.



Probar que los puntos $P, R, Q, S$ son colineales.

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Línea tripolar en la recta OI


Dado el triángulo $ABC $ el $A $-excírculo toca a las rectas $AC, AB, BC $ en $B_b, B_c, B_a $ y defino los respectivos puntos para las otras dos circunferencias. Sea $D = B_bB_c \cap B_cB_b $ y similar mente los puntos $E $ y $F $.
Probar que los puntos $D, E, F$ son colineales en una recta $d $ y que el punto tripolar de $d $ respecto al triángulo $A_aB_bC_c $ pertenece a la recta $OI $ donde $I $ es el incentro de $ABC $ y $O $ su circuncentro.

Dejo acá la explicación de lo que es el polo trilineal y la tripolar ya que no vi nada sobre el tema en el foro

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Polar y polo trilineal


Dado un triángulo $ABC$ y un punto interior $X$ se tiene el triángulo ceviano $DEF$ con $D\in BC$, $E\in AC$ y $F\in AB$.

Entonces los puntos $P=EF\cap BC$, $Q=FD\cap CA$ y $R=DE \cap AB$ son colineales en una recta $d$.

Al punto $X$ se le llama polo trilineal de $d$ y a la recta $d$ se le llama tripolar de $X$.

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Algo interesante con el incentro-excentro


Dado un triángulo $ABC $ inscrito en una circunferencia $\Gamma $ sean $I $ su incentro y $E $ el excentro opuesto al punto $A $.

El punto medio del segmento $EI $ es el punto medio del arco $\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{BC}}$ que no contiene al punto $A $

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triángulo: punto notable?


Sea $ABC $ un triángulo y $\Gamma $ su circuncírculo. Sea $A'$ el punto de tangencia del $A-$incírculo mixtilineo con $\Gamma $ y defino $B'$ y $C'$ de la misma manera.



Probar que $AA' , BB' , CC'$ son concurrentes

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