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Resultados FOFO de Pascua 2024

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios.

En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para los primeros 7 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron al menos 47 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 8 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 33 y 46 puntos), una Medalla Especial, y para los siguientes 8 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 24 y 32 puntos), una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{Samir.Ochoa} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{Emiliano Sosa} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{Ignacio Daniele} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{Tob.Rod} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{6} & \text{drynshock} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{jazzzg} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{8} & \text{Majamar} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{BR1} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{Fedee} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{4lbahaca} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{Kechi} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{Jordan.v} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{marcoalonzo} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{15} & \text{lola.m} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{16} & \text{magnus} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{17} & \text{Angel.C} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{17} & \text{IPM-Tomas-Chame} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{17} & \text{jesusmtp} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{20} & \text{florsa06} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{20} & \text{Micaaa} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{22} & \text{Meli.} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{22} & \text{Sol Sandleris} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicidades a todos!

Ana y Beto juegan un juego por turnos. Cada uno en su turno debe dibujar un segmento del plano de longitud $1$. Ana dibuja el primer segmento y a partir de ahí, cada uno en su turno debe comenzar un nuevo segmento en el punto final del segmento que lo precede. Cuando alguno dibuja un segmento que corta a otro de los segmentos ya dibujados en el menos un punto que no sea uno de sus extremos, pierde el juego.

a) Demostrar que tanto Ana como Beto pueden jugar para que el juego finalice si no les importa quién será el ganador.

b) ¿Hay alguno de los dos que tenga una estrategia ganadora?

Sea $ABC$ un triángulo tal que $C\widehat AB=30^\circ$ y $A\widehat CB=60^\circ$. Sea $D$ un punto de la recta $AB$ tal que los puntos $A,B,D$ estén en ese orden sobre la recta. Sea $E$ el punto de la recta $CB$ tal que $B\widehat DE=60^\circ$ y que los puntos $C,B,E$ estén en ese orden sobre la recta. Las rectas $AC$ y $DE$ se cortan en $F$. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo $AEF$ pasa además por un punto fijo, distinto de $A$, y que no depende de la elección de $D$.

Aclaración: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que pasa por sus tres vértices.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $101$ con cada coeficiente igual a $0$ o a $1$. Además, $P(0)=1$. Demostrar que para cada raíz real $\alpha$ de $P(x)$ vale que $\alpha <\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.

Un chichón es un sólido consistente en cuatro cubos blancos y uno negro, como se indica en la figura.

chichón.png

Encuentra la longitud de arista del cubo más pequeño que se puede llenar exactamente con chichones, sin superposición.

Prueba que, si $n \ge 4$, cualquier cuadrilátero que puede inscribirse en una circunferencia puede dividirse en $n$ cuadriláteros, cada uno de los cuales es inscriptible en una circunferencia.

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