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IMO 2008 - P6


Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB\neq BC$. Sean $\omega _1$ y $\omega _2$ las circunferencias inscritas de los triángulos $ABC$ y $ADC$ respectivamente. Se supone que existe una circunferencia $\omega$ tangente a la prolongación del segmento [

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IMO 2008 - P5


Sea $n$ y $k$ enteros positivos tales que $k\geqslant n$ y $k-n$ es par. Se tienen $2n$ lámparas numeradas $1,2,\ldots ,2n$, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Se consideran las suc [

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IMO 2008 - P4


Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ tales que $$\frac{f(w)^2+f(x)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}$$ para todos los números reales positivos $w$, $x$, $y$, $z$, que satisfacen $wx=yz$.

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IMO 2008 - P3


Demostrar que existen infinitos números enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene un divisor primo mayor que $2n+\sqrt{2n}$.

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IMO 2008 - P2


(a) Demostrar que $$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geqslant 1$$ para todos los números reales $x$, $y$, $z$, distintos de $1$, con $xyz=1$.

(b) Demostrar que existen infinitas ternas de números racionales $x$ [

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