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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Agustín y Bárbara salen al mismo tiempo y del mismo lugar, por el mismo camino. Agustín camina a $5\ \text{km/h}$ y Bárbara a $3\ \text{km/h}$. Luego de recorrer $7\ \text{km}$, Agustín emprende el regreso, y cuando se encuentra con Bárbara, también Bárbara emprende el regreso. Determinar cuánto tiempo después que Agustín llega Bárbara al punto de partida.
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Problema del día de Geometría:
Dados $5$ puntos en el plano, hallar el máximo número de triángulos semejantes cuyos vértices están entre estos $5$ puntos.
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Problema del día de Ñandú:
La empresa de celulares cobra: $\$2,6$ por minuto de llamada, $\$1,3$ por minuto de uso de internet y $\$0,65$ por cada mensaje de texto.
Pablo tiene $\$26$ de saldo para gastar.
Si usa todos o algunos de los tres servicios, ¿de cuántas maneras puede gastar todo su saldo? Da todas las posibilidades.
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  • Últimos temas

Primer Pretorneo 2015 - NM P1


Se tienen $15$ números enteros distintos, no necesariamente positivos. Alex escribió todas las posibles sumas de $7$ de estos números; Beto escribió todas las posibles sumas de $8$ de estos números. Determinar si es posible que las listas de Alex y Beto sean iguales. (Si la respuesta es sí, dar los posibles $15$ números; si es no, explicar porqué.)



4 puntos

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Tangencias y colinealidad


Sean $P $ y $Q $ dos puntos exteriores a la circunferencia $\Gamma $ y se trazan las tangentes $PA, PB, QC, QD $, y los puntos $R = AD \cap BC $ y $S = AC \cap BD $.



Probar que los puntos $P, R, Q, S$ son colineales.

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Línea tripolar en la recta OI


Dado el triángulo $ABC $ el $A $-excírculo toca a las rectas $AC, AB, BC $ en $B_b, B_c, B_a $ y defino los respectivos puntos para las otras dos circunferencias. Sea $D = B_bB_c \cap B_cB_b $ y similar mente los puntos $E $ y $F $.
Probar que los puntos $D, E, F$ son colineales en una recta $d $ y que el punto tripolar de $d $ respecto al triángulo $A_aB_bC_c $ pertenece a la recta $OI $ donde $I $ es el incentro de $ABC $ y $O $ su circuncentro.

Dejo acá la explicación de lo que es el polo trilineal y la tripolar ya que no vi nada sobre el tema en el foro

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Polar y polo trilineal


Dado un triángulo $ABC$ y un punto interior $X$ se tiene el triángulo ceviano $DEF$ con $D\in BC$, $E\in AC$ y $F\in AB$.

Entonces los puntos $P=EF\cap BC$, $Q=FD\cap CA$ y $R=DE \cap AB$ son colineales en una recta $d$.

Al punto $X$ se le llama polo trilineal de $d$ y a la recta $d$ se le llama tripolar de $X$.

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Algo interesante con el incentro-excentro


Dado un triángulo $ABC $ inscrito en una circunferencia $\Gamma $ sean $I $ su incentro y $E $ el excentro opuesto al punto $A $.

El punto medio del segmento $EI $ es el punto medio del arco $\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{BC}}$ que no contiene al punto $A $

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