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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Agustín y Bárbara salen al mismo tiempo y del mismo lugar, por el mismo camino. Agustín camina a $5\ \text{km/h}$ y Bárbara a $3\ \text{km/h}$. Luego de recorrer $7\ \text{km}$, Agustín emprende el regreso, y cuando se encuentra con Bárbara, también Bárbara emprende el regreso. Determinar cuánto tiempo después que Agustín llega Bárbara al punto de partida.
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Problema del día de Geometría:
Dados $5$ puntos en el plano, hallar el máximo número de triángulos semejantes cuyos vértices están entre estos $5$ puntos.
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Problema del día de Ñandú:
La empresa de celulares cobra: $\$2,6$ por minuto de llamada, $\$1,3$ por minuto de uso de internet y $\$0,65$ por cada mensaje de texto.
Pablo tiene $\$26$ de saldo para gastar.
Si usa todos o algunos de los tres servicios, ¿de cuántas maneras puede gastar todo su saldo? Da todas las posibilidades.
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  • Últimos temas

triángulo: punto notable?


Sea $ABC $ un triángulo y $\Gamma $ su circuncírculo. Sea $A'$ el punto de tangencia del $A-$incírculo mixtilineo con $\Gamma $ y defino $B'$ y $C'$ de la misma manera.



Probar que $AA' , BB' , CC'$ son concurrentes

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TST China 2021, prueba 4, día 1, problema 2


Sea $ABC$ un triángulo de incentro $I$ y $\Gamma$ la circunferencia circunscrita a éste.

$D$ es un punto sobre $\Gamma$ tal que $AD\parallel BC$, $E$ es el punto de tangencia del $A$-excírculo con $BC$ y $F$ un punto interior al triángulo $ABC$ tal que $IF\parallel BC$ y $B\hat{A}F=E\hat {A}C$.

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $\stackrel{\textstyle\frown}{BAC}$ y $\stackrel{\textstyle\frown}{BC}$ respectivamente ($N$ en el semiplano de borde $BC$ que no contiene ni a $A$ ni a $M$).

$G=NF\cap \Gamma$

$L=AG\cap IF$

$K=AF\cap DI$



Probar que $NK\perp ML$.

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Ecuaciones funcionales discretas


Buenas, dejo el apunte que escribimos con @lucasdeamorin y @Matías V5 sobre Ecuaciones Funcionales Discretas (aquellas que tienen como dominio los naturales o los enteros), este tipo de problemas aparece en Selectivos de IMO e Ibero y en muchas competencias internacionales.
Para poder aprovechar al máximo este apunte, recomendamos fuertemente que el lector se encuentre ya familiarizado con el concepto de ecuaciones funcionales y con ciertas ideas típicas utilizadas para resolverlas. Para ello, lo mejor es haber leído previamente el siguiente apunte. Es importante destacar que muchas de estas técnicas seguirán siendo muy útiles a la hora de resolver ecuaciones funcionales discretas; la inyectividad, la sobreyectividad, el trabajo con desigualdades y los reemplazos clásicos son algunos ejemplos de esto. Por otro lado, la restricción a los elementos enteros nos abre las puertas para poder aplicar argumentos de divisibilidad, congruencias, elementos mínimos y da lugar a una herramienta muy fuerte: la inducción.
¡Esperamos que lo disfruten! Cualquier duda o comentario al respecto del apunte escríbanlo acá.

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Segundo Pretorneo de Ciudades-Nivel Juvenil-P4 2018


Sean $K$ un punto de la hipotenusa $AB$ de un triángulo rectángulo $ABC$, y $L$ un punto del cateto $AC$ tal que $AK=AC$ y $BK=LC$. Sea $M$ el punto de intersección de los segmentos $BL$ y $CK$. Demostrar que el triángulo $CLM$ es isósceles.

6 PUNTOS

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Segundo Pretorneo de Ciudades-Nivel Juvenil-P3 2018


Tres números enteros positivos son tales que cada uno de ellos es divisible por el máximo común divisor de los otros dos números, y el mínimo común múltiplo de cada par de números es divisible por el tercero. Determinar si esto implica que los tres números son necesariamente iguales.



5 PUNTOS

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