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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Agustín y Bárbara salen al mismo tiempo y del mismo lugar, por el mismo camino. Agustín camina a $5\ \text{km/h}$ y Bárbara a $3\ \text{km/h}$. Luego de recorrer $7\ \text{km}$, Agustín emprende el regreso, y cuando se encuentra con Bárbara, también Bárbara emprende el regreso. Determinar cuánto tiempo después que Agustín llega Bárbara al punto de partida.
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Problema del día de Geometría:
Dados $5$ puntos en el plano, hallar el máximo número de triángulos semejantes cuyos vértices están entre estos $5$ puntos.
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Problema del día de Ñandú:
La empresa de celulares cobra: $\$2,6$ por minuto de llamada, $\$1,3$ por minuto de uso de internet y $\$0,65$ por cada mensaje de texto.
Pablo tiene $\$26$ de saldo para gastar.
Si usa todos o algunos de los tres servicios, ¿de cuántas maneras puede gastar todo su saldo? Da todas las posibilidades.
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  • Últimos temas

IMO 2021 - Problema 6


Sean $m\geq 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos), y $B_1,B_2,B_3,\ldots ,B_m$ subconjuntos de $A$. Suponemos que para cada $k=1,2,\ldots ,m$, la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$. Probar que $A$ contiene al menos $m/2$ elementos.

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IMO 2021 - Problema 5


Dos ardillas, Ardi y Dilla, han recolectado $2021$ nueces para el invierno. Ardi numera las nueces desde $1$ hasta $2021$, y excava $2021$ hoyos en el suelo en una disposición circular alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Ardi observa que Dilla ha colocado una nuez en cada hoyo, pero sin tener en cuenta la numeración. No contenta con esto, Ardi decide reordenar las nueces realizando una secuencia de $2021$ movimientos. En el $k$-ésimo movimiento Ardi intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez con el número $k$. Probar que existe un valor de $k$ tal que, en el $k$-ésimo movimiento, las nueces intercambiadas tienen números $a$ y $b$ tales que $a<k<b$.

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IMO 2021 - Problema 4


Sea $\Gamma$ una circunferencia con centro $I$ y $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ es tangente a $\Gamma$. Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AIC$. La prolongación de $BA$ más allá de $A$ corta a $\Omega$ en $X$, y la prolongación de $BC$ más allá de $C$ corta a $\Omega$ en $Z$. Las prolongaciones de $AD$ y $CD$ más allá de $D$ cortan a $\Omega$ en $Y$ y $T$ respectivamente. Probar que$$AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.$$

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IMO 2021 - Problema 3


Sea $D$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$, con $AB>AC$, de forma que $\angle DAB=\angle CAD$. El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface que $\angle ADE=\angle BCD$, el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA=\angle DBC$, y el punto $X$ en la recta $AC$ satisface $CX=BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD$ respectivamente. Probar que las rectas $BC$, $EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

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IMO 2021 - Problema 2


Probar que la desigualdad$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\leq \sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}$$se satisface para cualquier elección de números reales $x_1,\ldots, x_n$.

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