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Finalizó la FOFO

Ya están abiertos los posts de los problemas para que suban sus soluciones.

Arrancó la FOFO ANIVERSARIO: 13 AÑOS
SPOOKY FOFO

Para dudas de enunciados postear en este thread.

Un pequeño FAQ para tener en cuenta a la hora de resolver los problemas y mandar las soluciones.

Si tengo una duda de enunciado, ¿dónde pregunto?
Las dudas de enunciado se preguntan respondiendo este post.

¿Los problemas están ordenados por dificultad?
Aproximadamente sí. Esto es un poco subjetivo, y en general no es cierto que necesariamente el problema $n$ sea más fácil que el $n+1$. Nuestro consejo es arrancar pensando desde los primeros y avanzar hacia los últimos.

¿A dónde tengo que mandar las soluciones?
Por ejemplo, el problema 1 lo publicó el usuario "NicoRicci". Abajo de su nombre están enlistados su número de mensajes, su fecha de registro, y al final, hay un botón que dice "MP". Al hacer click allí, verás un panel para que escribas tu solución. Una vez que la termines de escribir y revisar, al hacer click en enviar, "NicoRicci" recibirá tu solución.

¿Cuándo tengo que mandar las soluciones?
Las podés mandar en cualquier momento del fin de semana. Lo ideal sería que procures mandar tu solución una vez que estés seguro de que no te equivocaste. Recordá que tenés tiempo hasta las 23:59 del Lunes 16 de Octubre de 2023, y que podes reenviar soluciones y agregar aclaraciones todas las veces que vos quieras.

Algunas de las soluciones que mandé quedaron en "bandeja de salida" en vez de "mensajes enviados". ¿Qué significa esto?
Solamente significa que el destinatario aún no leyó el mensaje. No hace falta que lo envíes de nuevo.

¿Vale la pena mandar soluciones incompletas?
Si en algún problema lograste obtener resultados parciales, o ideas que creés que sirven mucho pero no sabés cómo terminar el problema, igual podés mandarnos tu solución. Podés rescatar algunos puntos que suman. Recordá que todos los problemas valen lo mismo en puntaje.

¿Cómo puedo obtener un premio?
Se darán medallas especiales a los usuarios con mejor desempeño. No obstante, habrá otros premios aparte de estas medallas, que se determinarán exclusivamente por puntaje.

¿Cuándo me entero de la corrección?
Una vez que termine el período de envío de soluciones, nosotros vamos a avisarte por mensaje privado cuál fue tu puntaje.

Si resolví pocos problemas ¿vale la pena que mande mis soluciones?
Sí, por supuesto que vale la pena. Por más que hagas un solo problema, mandá lo que tengas, porque podés ganar algún premio.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis hechas utilizando algún software, como Geogebra.

No me inscribí, ¿puedo participar igual?
Sí, podés.

Betty y Mario juegan al siguiente juego: Betty tiene un mazo de $101$ cartas donde hay $100$ cartas numeradas del $1$ al $100$ y la carta restante está repetida. Mario debe adivinar cuál es la carta que se repite. Para ello Betty le da una pista: le dice que el producto de todas las cartas del mazo es múltiplo de $2^{100}$.

¿Puede Mario con esta pista saber qué número tiene la carta repetida?

¿Y si ahora Betty también le dice que la suma del número de la carta repetida, su anterior y su posterior es un cuadrado perfecto?

En cada pregunta, si la respuesta es no, dar todas las posibles cartas repetidas. En el caso de que la respuesta sea sí, explicar el porqué.

Aclaración: Un cuadrado perfecto es un número que es igual a otro número entero al cuadrado. Por ejemplo $25$ es un cuadrado perfecto porque $5$ al cuadrado es $25$.

Ana, Beto, Carla, Daniela, Eric y Franco fueron al cine y se sentaron en $6$ sillas juntas en ese orden. Luego del intervalo, regresaron a sus sillas y se sentaron nuevamente en las mismas $6$ sillas de forma tal que si dos personas que antes del intervalo se habían sentado una al lado de la otra, luego del intervalo no se sentaron una al lado de la otra. ¿De cuántas maneras pudieron haberse sentado después del intervalo? Explicar cómo las contaron.

Betty quiere completar los casilleros vacíos de la figura de tal forma que cada número sea el mínimo común múltiplo de los dos números que se encuentran inmediatamente abajo suyo. Además, quiere que cada número sea distinto a los dos que están debajo suyo. ¿De cuántas formas puede hacerlo? Explicar cómo las contaron.

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Rafa le dice en secreto a cada uno de sus $4$ amigos un número de dos dígitos. Rafa les comunica a los $4$ que los $4$ números tienen dos dígitos y son consecutivos, además uno es múltiplo de $6$, y otro es múltiplo de $7$.

Rafa les pregunta: ¿Pueden decirme cuáles son los $4$ números? Los $4$ amigos, todos al mismo tiempo, le contestaron que no.

Habiendo escuchado que todos dijeron que no, los $4$ amigos pudieron deducir cuáles eran los $4$ números que Rafa les entregó.

¿Cuáles podrían haber sido esos $4$ números? ¿Cómo los encontraron? Dar todas las posibilidades, y explicar para las encontradas la razón por la cuál ninguno de los $4$ amigos pudo haber deducido los números, pero luego de los "no" en simultáneo sí pudieron.

Mario escribe en el pizarrón algunos números del $1$ al $6$, de menor a mayor. Todos los números que escribe Mario son distintos entre sí.

Betty escribe en el siguiente renglón del pizarrón algunos números distintos del $1$ al $6$, de menor a mayor. Todos los números que escribe Betty son distintos entre sí.

Rafa anota en su cuaderno el producto de la cantidad de números que escribió cada uno. Por ejemplo, si Mario escribe $1$, $2$, $4$, y Betty $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, entonces Rafa anota $3\times 5=15$.

Sole anota en su cuaderno el producto de la cantidad total de números distintos escritos en el pizarrón, y la cantidad de números que aparecen repetidos en los dos renglones. Por ejemplo, si Mario escribe $1$, $2$, $4$, y Betty $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, entonces Sole anota $6\times 2=12$ porque hay $6$ números distintos entre los dos renglones, y solamente $2$ repetidos.

Juan observó que si se le suma $2$ al número que escribió Sole, obtiene el número que escribió Rafa.

¿De cuántas maneras pudieron haber escrito los números Mario y Betty? Explicar cómo las contaron.

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