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Gianni De Rico escribió: ↑Jue 05 May, 2022 7:04 pmSea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ que satisfacen $f(xf(y))=f(xy)+x$ para todos $x,y\in \mathbb{R}^+$.

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$2^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$

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El teorema del binomio nos dice que:



$(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(a^k)(b^{n-k})$



Entonces

$(1+1)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(1^k)(1^{n-k})$



$2^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$



y ya estamos.

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Buscamos demostrar que $2^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$



1) ¿Vale para $n=1$?

$2^1 = \displaystyle\sum_{k=0}^{1} \binom{1}{k}$



$2 = \binom{1}{0} + \binom{1}{1}$



$2 = 2$ Verdadero



Hipótesis inductiva:

$2^h = \displaystyle\sum_{k=0}^{h} \binom{h}{k} \Rightarrow 2^{h+1} = \displaystyle\sum_{k=0}^{h+1} \binom{h+1}{k}$



Demostración:



$2^{h+1} = 2^h . 2$



$2^{h+1} = 2. \displaystyle\sum_{k=0}^{h} \binom{h}{k}$



$2^{h+1} = \displaystyle\sum_{k=0}^{h} \binom{h}{k} + \displaystyle\sum_{k=0}^{h} \binom{h}{k}$



$2^{h+1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{h+1} \binom{h}{k-1} + \displaystyle\sum_{k=0}^{h} \binom{h}{k}$



$2^{h+1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{h+1} \binom{h}{k-1} + \displaystyle\sum_{k=1}^{h+1}[ \binom{h}{k}] + \binom{h}{0} - \binom{h}{h+1}$



$2^{h+1} = \binom{h}{0} - \binom{h}{h+1} + \displaystyle\sum_{k=1}^{h+1}[\binom{h}{k-1} + \binom{h}{k}]$



$2^{h+1} = \binom{h}{0} - \binom{h}{h+1} + \displaystyle\sum_{k=1}^{h+1}\binom{h+1}{k}$ ; Por un teorema de Pascal.



$2^{h+1} = \binom{h+1}{0} - \binom{h}{h+1} + \displaystyle\sum_{k=1}^{h+1}\binom{h+1}{k}$



$2^{h+1} = - \binom{h}{h+1} + \displaystyle\sum_{k=0}^{h+1}\binom{h+1}{k}$



$2^{h+1} = \displaystyle\sum_{k=0}^{h+1}\binom{h+1}{k}$



Con esto la demostración estaría terminada, sin embargo el ultimo paso hace ruido: ¿Por que $\binom{h}{h+1} = 0$ ?

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Bueno si trabajamos solo en los naturales, $h \geq k$ en $\binom{h}{k}$. Pero si expandimos nuestros conocimientos a los reales o incluso los complejos podemos transformar la expresión anterior en algo útil.



$\binom{h}{h+1} = \frac{h!}{(h+1)!.[h-(h+1)]!}$



$\binom{h}{h+1} = \frac{h!}{(h+1).h!.(-1)!}$



$\binom{h}{h+1} = \frac{1}{h+1} \frac{1}{(-1)!}$



Teóricamente ya no podemos decir $(-1)!$ ya que $-1 \notin \mathbb{N}$, así que cambiemos la notación de $(-1)!$ a $\Gamma(0)$. Esta función que acabo de mencionar es la función Gamma, la cual extiende el factorial de un numero a los números complejos. Esta misma se define como:

$\Gamma(z) = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} t^{z-1} . e^{-t} dt$



Para no complicarla mas, adjunto la imagen de la funcion para que vean que $\lim\limits_{z \to (0)^-}\Gamma(z) = +\infty$ y que $\lim\limits_{z \to (-1)^+}\Gamma(z) = -\infty$.

Es decir que $\Gamma(0)$ es muy grande entonces al dividir por este numero en $\binom{h}{h+1}$ obtenemos 0.

Gamma_plot.svg.png

$\blacksquare$

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ww.jpg

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No encontré ningún PDF anterior así que no se si ya existía.