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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Tenemos $100$ vértices etiquetados del $1$ al $100$ alrededor de una circunferencia como se muestra en la figura. Como puedes ver, al lado de los arcos pequeños, hay algunas aristas adicionales que conectan el vértice $49$ con algunos otros vértices. Encuentre la cantidad de caminos diferentes desde el vértice $1$ hasta el vértice $100$ en este grafo.
ICO 2021 - N1 P11.png
Nota: Un camino desde el vértice $u$ hasta el vértice $w$ es una secuencia de vértices distintos $u = v_1, v_2,\ldots, v_n = w$ tal que $v_iv_{i+1}$ es una arista del grafo para $i = 1, 2, \ldots, n−1$. En particular, un camino puede estar conformado por solo un vértice.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $ABC$ un triángulo equilátero de lado $2$. Se consideran el punto $P$ en la prolongación del lado $AB$, el punto $Q$ en la prolongación del lado $BC$ y el el punto $R$ en la prolongación del lado $CA$ tales que $\frac{PB}{AB}=\frac{CQ}{BC}=\frac{AR}{CA}=x$.
Determinar $x$ si se sabe que $\text{área}(PQR)=19\cdot \text{área}(ABC)$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En la figura
n2 nac 2018 p5.jpg
$GMPS$ es un cuadrado,
$BCRM$ y $PRES$ son rectángulos,
los triángulos $ABG$ y $CDE$ son iguales,
$FS$ es perpendicular a $GE$,
Área de $BCRM=$ Área de $GPE$,
Área de $GMP=1152\text{ cm}^2$,
Perímetro de $BCEG=270\text{ cm}$,
Área de $GEF=\frac{3}{4}$ Área de $GPE$,
Área de $GMRE=4$ Área de $CDE$.
¿Cuál es el área de $GPEF$?
¿Cuál es el área de $BDG$?
¿Cuál es el área de $AEFG$?
¿Cuál es el área de la figura?
Link al tema.


  • Últimos temas

Problema 3 Primera Ronda Mateclubes 2024 Nivel Preolímpico


En una carrera hay $3$ puestos de hidratación. Las distancias entre ellos son todas iguales e iguales a la distancia desde la largada hasta el primer puesto y a la distancia del último puesto hasta la meta. Además, hay $2$ puestos de emergencias que también cumplen que la distancia entre ellos es la misma que la distancia desde la largada hasta el primer puesto y la distancia desde el segundo puesto hasta la meta. Si la distancia entre la largada y el primer puesto de hidratación es de $6\text{ km}$, ¿cuántos kilómetros hay desde el primer puesto de hidratación hasta el primer puesto de emergencias?

2mat.png

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Problema 2 Primera Ronda Mateclubes 2024 Nivel Preolímpico


Betty quiere pintar dos casillas de Azul, dos de Rojo y dos de Verde. No puede haber dos casillas vecinas del mismo color (es decir, si dos casillas tienen un lado en común deben estar pintadas de distinto color). Pinta la primera casilla de azul. ¿De cuántas maneras distintas puede pintar las demás casillas? Dar todas las posibilidades.

1mat.png

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Problema 1 Primera Ronda Mateclubes 2024 Nivel Preolímpico


Mario quiere reemplazar cada letra en la siguiente cuenta por un dígito. Debe reemplazar letras iguales por dígitos iguales y letras distintas por dígitos distintos.$$\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{CCA}$$Si quiere que la cuenta resulte correcta, ¿cómo puede hacerlo?

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Maratón de Problemas de Combinatoria


Bueeeno, ya existe una Maratón de Problemas y una Maratón de Problemas de Geometría, así que se me ocurrió crear una de combinatoria. Las reglas son más o menos las mismas que en las otras dos maratones, lo único diferente es que los problemas propuestos acá tienen que ser pura y exclusivamente de combinatoria. Y lo más importante: ¡diviértanse!

Problema 1
Se tiene un tablero de $5×100$ dividido en $500$ casillas. Inicialmente todas las casillas son blancas. Determinar la mayor cantidad de casillas que se pueden pintar de negro de tal modo que cada una de las $500$ casillas sea adyacente a como mucho dos casillas negras. (Dos casillas son adyacentes si tienen un lado en común.)

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Versión alternativa de "Pretorneo 2024 NJ P3"


BR1 escribió:Esta es una versión alternativa de https://omaforos.com.ar/viewtopic.php?t=9311 que me pareció más complicado que el original.
Nueve granjeros se han dividido un campo con forma de tablero de $9×9$ que está rodeado por una cerca. Todo el campo está cubierto de frutillas (hay una frutilla en cada punto del campo, excepto en los puntos de la cerca que lo rodea). Los granjeros se han dividido el tablero en $9$ partes de áreas iguales, siguiendo líneas del tablero, pero los bordes no están marcados (ellos saben cuáles son). Cada granjero cuida las frutillas de su propio terreno, pero no cuida las del borde de su terreno. Un granjero puede detectar una pérdida si al menos dos frutillas desaparecen de su trozo de terreno (recordemos que no registra las del borde de su terreno). Un cuervo conoce toda la situación, pero no sabe cuáles son los terrenos de los granjeros, aunque sabe que los bordes están sobre líneas del tablero. Determinar si el cuervo puede sacar $8$ frutillas del campo sin correr el riego de que alguno de los granjeros lo descubra.
BR1 escribió:Y si alguien quiere llevarlo más allá...
¿Cuál es el mayor número de frutillas que el cuervo puede sacar de un campo de $N×N$ en el que hay $N$ granjeros sin correr el riego de que alguno de los granjeros lo descubra?

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